1、第四节 向量的数量积与向量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积一、向量的数量积引例 外力做功问题由物理学可知，若质点受外力 F的作用，沿直线移动，得到位移 s.设位移方向与力的方向间的夹角为(F,s)， 则这个力所做的功 W为W=|F|s|cos(F,s).定义 1 若给定向量 a， b， 定义 |a|b|cos(a,b)为向量 a与b的 数量积 ，记为 ab， 即 ab= |a|b|cos(a,b) ，又称之为 点积 .性质 两个非零向量垂直的充分必要条件是它们的 数量积为零 .由数量积的定义可以证明 ab=ba，(a)b=a(b)=(ab) ( 为一数量 )，(a+b)c=ac+bc.若
2、 a=(x1,y1,z1)， b=(x2,y2,z2)， 则向量的数量积可以用向量的坐标来表示：由于 i， j， k是互相垂直的基本单位向量，因此于是可得由此可得知两个 非零向量 a， b垂直的充分必要条件的坐标表达式 :特别地，当 a=b时，有注意到 ab=|a|b|cos(a,b)， 可知当 a， b都是非零向量时，它们间夹角的方向余弦可以由坐标表达式表示为例 1 证明证 (a+b)(ab)例 2 已知 a=(3,0,1)， b=(2,1,3)， 求 ab， (a,b).由于 且解例 3 设 a=2i+xjk， b=3ij+2k， 且 a b， 求 x.解 由于 a b ， 可知必有即 23+x(1)+(1)2=0.整理得方程 x+4=0， 解方程得 x=4.二 、两向量的向量积引例 当用扳手拧螺母时，若扳手沿逆时针方向转动，则其螺母朝外移动 .若扳手沿顺时针方向转动，则螺母朝里移动，而其移动的距离，取决于所施外力及扳手的臂的长短 .其移动的方向垂直于外力方向与扳手的臂所决定的平面 .从力学上看螺母移动取决于力矩 M， 而力矩又取决于力臂 L和力 F， 且
