固体物理考试要点及部分答案.doc

1、名词解释1、什么是简单晶格和复式晶格？答：简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成，相应原子分别构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。5、晶体包含 7 大晶系，14 种布拉维格子，32 个点群？试写出 7 大晶系名称；并写出立方晶系包含哪几种布拉维格子。答：七大晶系：三斜、单斜、正交、正方、六方、菱方、立方晶系。24、引入玻恩卡门条件的理由是什么？答：(1)方便于求解原子运动方程.由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原

2、子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.(2)与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有 N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理

3、论的最有力验证(参见本教科书3.2 与3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.固体物理复习要点名词解释1、基元、布拉伐格子、简单格子。2、基矢、原胞3、晶列、晶面4、声子5、布洛赫定理（Bloch 定理）6、能带能隙、晶向及其标志、空穴7、紧束缚近似、格波、色散关系8、近自由近似9、振动模、10、施主，N 型半导体、受主，P 型半导体11、本征光吸收；本征吸收边12、导带；价带；费米面简单回答题1、 倒格子是怎样定义的？为什么要引入倒格子这一概念？2、 如果将等体积的刚球分别排成简单立方、体心立

4、方、面心立方结构，则刚球所占体积与总体积之比分别是多少？3、 在讨论晶格振动时，常用到 Einstein 模型和 Debye 模型，这两种模型的主要区别是什么？以及这两种模型的局限性在哪里？6、 叙述晶格周期性的两种表述方式。7、 晶体中传播的格波和普通连续媒质中传播的机械波如声波、水波等有何不同？导致这种不同的根源又是什么？8、 晶格热容的爱因斯坦模型和德拜模型各自的假设是什么？两个模型各自的优缺点分别是什么？9、 本征光吸收分为哪两种？分别写出这两种光吸收过程中的能量守恒和准动量守恒的数学表达式。10、 能带理论中的近自由电子近似和紧束缚近似的基本假设各是什么？两种近似方法分别适合何种对象

5、？11、 以一维简单晶格和三维简单立方晶格为例，给出它们的第一布里渊区。12、 以简单立方晶格为例，给出它的晶向标志和晶面标志（泰勒指数） 。13、 试证明任何晶体都不存在宏观的 5 次对称轴。14、 在运用近自由电子模型计算晶体中电子能级（能带）时为什么同时用到简并微扰和非简并微扰？。15、 给出导体，半导体和绝缘体的能带填充图，并以此为基础说明三类晶体的导电性。16、 给出简单立方晶格中 点（其波矢 (0,)k）波函数在点群操作下的变换规律。17、 简要叙述能带的近自由电子近似法和紧束缚近似法的区别。18、 给出 Bloch 能带理论的基本假设。19、 晶态、非晶态、准晶态在院子排列上各有

6、什么特点？20、 晶体中可以独立存在的对称元素有哪些？21、 可以测定晶格振动色散关系的实验方法有哪些（至少回答 3 种）？22、 在晶体衍射中，为什么不能应用可见光？23、 长光学支格波与长声学支格波在本质上有何差异？24、 引入伯恩-卡门条件的理由是什么？25、 在布里渊区边界上电子的能带有什么特点？26、原子结合成固体有哪几种基本形式？其本质是什么？27、画出二维正方晶格的第一和第二布里渊区。计算回答题1、 求六角密排结构的堆积比（刚球所占体积与总体积之比） 。2、 求体心立方结构中具有最大面密度的晶面族，并求出这个最大面密度的表达式。3、 当色散关系为 =vp q2 时，求一、二、三维

7、空间的声子态密度？4、 一维单原子链，原子质量 m，晶格常数为 a，在平衡位置附近两原子间的相互作用势能为B、C 均为常数。只考虑最近邻原子作用 （1）在简谐近似下，求色散关系、Debye 温度和比热 （2）考虑非简谐项，求 Grueneisen 常数和它的线膨胀系数5、 求体心立方结构中具有最大面密度的晶面族，并求出这个最大面密度的表达式。7、 用紧束缚近似求出简单立方晶格中原子 s 态对应的能带的 E (k)函数及能隙宽度。8、 设有二维正方格子，晶体势场为 yaxVyxU2coss4),(0用自由电子近似的微扰论，近似地求出布里渊区顶角a ,处的能隙。9、 导出 Einstein 模型中

8、晶格热容的表达式，进一步指出此模型的优缺点。10、 电子在周期场中的势能221(),mbxnabxna当 ()Vx0 ， b当 (-1)+ 其中 a4b， 是常数(1) 试画出此势能曲线，求其平均值.(2) 用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度3220)32()( CrBrCaBUr 10、 用紧束缚近似求出简单立方晶格中原子 s 态对应的能带的 E (k)函数及能隙宽度。11、 证明体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方晶格的倒格子是体心立方12、 考虑一维双原子链，链上最近邻原子间的力常数交错地等于 和 10，令两种原子的质量相等并且最近邻的间距为 a/2。试求在 q =

9、 0 和 q = /a 处的 (q)，并粗略地画出色散关系曲线。13、 设有一维晶体的电子能带可以写成 )2cos817()(2kmakE其中 a 是晶格常数，试求：1）能带宽度；2）电子在波矢 k 的状态时的速度；3）能带底部和能带顶部电子的有效质量。1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()()ajkiaj由倒格子基矢的定义： 123()ba，31230,(),24,0aa223,0()4,ijkaaijk2134()()bijkijkaa同理可得： 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同

10、。23()bijka所以，面心立方的倒格子是体心立方。（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()()aijkaijk由倒格子基矢的定义： 123()ba，3123,(),2,aaa 223,(),2ijkaajk213()()bjkjkaa同理可得： 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。23()ibja所以，体心立方的倒格子是面心立方。1.5、证明倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶面系。123Ghb123()h证明：因为 ，3312,aaCABhh123Ghb利用 ，容易证明2ijijab1230hGCAB所以，倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶面系。123b12

11、3()h1.9、画出立方晶格（111）面、 （100）面、 （110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。解： (1) (1)1、(111)面与(100)面的交线的 AB，AB 平移，A 与 O 点重合，B 点位矢：，BRajk(111)面与(100)面的交线的晶向 ，晶向指数 。Bajk012、(111)面与(110)面的交线的 AB，将 AB 平移，A 与原点 O 重合，B 点位矢：，(111)面与(110)面的交线的晶向 ，晶向指数 。BRaij aij102.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 ()mnurr试求：（1）平衡间距 ；0r（2）结

12、合能 （单个原子的） ；W（3）体弹性模量；（4）若取 ，计算 及 的值。02,1,3,4mnrAeV解：（1）求平衡间距 r0由 ，有：)(0rdu mnnmnm 1101.0 结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用 w 表示）（2）求结合能 w（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即 Umin即： （可代入 r0 值，也可不代入）nmrrUW00)(（3）体弹性模量由体弹性模量公式： 0209rVk（4）m = 2

13、，n = 10， ， w = 4eV，求 、Ar3818105r)5(4)( 802010.20 代 入rrrUeVW5)(20将 ， 代入Ar30Je196.1215849.27mN3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为 和 ，令两种10原子质量相等，且最近邻原子间距为 。试求在 处的 ，并粗略画出2a0,qa()q色散关系曲线。此问题模拟如 这样的双原子分子晶体。H答：（1）浅色标记的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ；深色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。第 2n 个原子和第 2n1 个原子的运动方程：2221211()nnnnm体系 N

14、个原胞，有 2N 个独立的方程方程的解： ，令 ，将解代入上述方程得：1(2)2()1itnaqnitAeB221/,/m12222111()()0iaqiaqiaqiaqeBeA A、B 有非零的解，系数行列式满足： 1222211(),()0iaqiaqiaqiaqee11112222221()()()0iiaqiaqiaqee21212iaqiii因为 、 ，令 得到12020 0,1cm2 40()(cos)aq两种色散关系： 2011)当 时， ，0q20()02当 时， ，a20(18)02（2）色散关系图：3.6.求出一维单原子链的频率分布函数 。w解：一维单原子链的色散关系为：

15、， 其中2224sinsimaq4m,imcos2maqdd振动模式的数目： 222cosmmNadNnqdaq所以 2()0mmg4.7、有一一维单原子链，间距为 a，总长度为 Na。求（1）用紧束缚近似求出原子 s 态能级对应的能带 E(k)函数。 （2）求出其能态密度函数的表达式。 （3）如果每个原子 s 态只有一个电子，求等于 T=0K 的费米能级 及 处的能态密度。0FE解（1） 010101()()2cos2cosikais sEkJeJkaEJka0()sikRsp(2) , 112()2sinsiLdNaNNEEJkJka(3), 0 00()22Fk FFk0 01 11cos,()sinF sNEJaEJJa5.1、设有一维晶体的电子能带可写成 ， 其中 为271()(cos2)8Ekkama晶格常数， 是电子的质量。m试求（1）能带宽度；（2）电子在波矢 k 状态的速度；（3）带顶和带底的电子有效质量。解：（1） 271()(cos2)8Eka= coska+ (2cos2ka1)2m (coska2) 21 24ma当 ka(2n+1) 时,n=0,1,22ax()Ek当 ka=2n时, min0能带宽度2axin（2） 1()1(s)4dEkka(3) 2* 1co2Ekm当 时,带底，0*m当 时,带顶，a3