工程流体水力学第四章习题答案.doc

1、26第四章 理想流体动力学和平面势流答案41 设有一理想流体的恒定有压管流，如图所示。已知管径 ， ，12d1D过流断面 1-1 处压强 p1大气压强 pa。试按大致比例定性绘出过流断面 1-1、2-2 间的总水头线和测压管水头线。解：总水头线、测压管水头线，分别如图中实线、虚线所示。42 设用一附有液体压差计的皮托管测定某风管中的空气流速，如图所示。已知压差计的读数 h150mmH 2O，空气的密度 a =1.20kg/m3，水的密度 =1000kg/m3。若不计能量损失，即皮托管校正系数 c=1，试求空气流速 u0。解：由伯努利方程得0saapug（1） 00a2()sp式中 为驻点压强。

2、sp由压差计得 0sgh（2）s联立解（1） （2）两式得0aa109.8.5m/s49./s2ug43 设用一装有液体（密度 s=820kg/m3）的压差计测定宽渠道水流中 A 点和 B 点的流速，如图所示。已知 h1 =1m，h 2 =0.6m，不计能量损失，试求 A 点流速 uA 和 B 点流速uB。水的密度 =1000kg/m3。解：（1） 9.81/4.7/sAu（2）由伯努利方程可得27（1）2Auphg（2）B式中 、 和 、 分别为 A 点和 B 点处的水深和驻点压强。由（1） 、 （2）式可得Ap（3）22BAuhgg由压差计得， ，所以22sBhp(4)0.8ABAp由（3

3、）式、 （4）式得2 224.7(1.)0.6(1.82)0.99Buhg。 9.80m/s./s44 设有一附有空气水倒 U 形压差计装置的皮托管，来测定管流过流断面上若干点的流速，如图所示，已知管径 d =0.2m，各测点距管壁的距离 y 及其相应的压差计读数 h分别为：y =0.025m，h =0.05m；y =0.05m，h =0.08m；y =0.10m，h =0.10m。皮托管校正系数 c =1.0，试求各测点流速，并绘出过流断面上流速分布图。解：因 ，所以2ucg119.805m/s.9/s22 12h33./.40/c过流断面上的流速分布如图所示。 45 已知 试求该流动的速度

4、势函数，并检查速度22,xyzxuuu势函数是否满足拉普拉斯方程。解：(1)在习题 319 中，已判别该流动为有势流，所以存在速度势函数 。22dddxy xyx22d1d()xyyx28积分上式可得 arctnyx（2） 222(),()xyx2,0yyz220()()xx满足拉普拉斯方程。46 已知 ， ， ，试求该流动的流函数 和流线方2xyu2yxu0zu程、迹线方程。解：(1)在习题 38 中，已判别该流动满足连续性方程，所以存在流函数 。等流函数线方程即为流线方程。，dd0xyu22d0yxxy，22()积分上式可得ln()xyC（2）迹线方程， dxyu22dyx2()()，2d

5、0xxy2d()0y积分上式可得 2ln()C47 已知 ux =ky，u y =kx，u z =0，试求该流动的流函数 和流线方程、迹线方程及其形状（k 是不为零的常数） 。解：流函数和流线方程： 2ddd()xy kkxxy积分上式可得 2xy迹线方程: d-0zk，22rC由上式可知，流线为平行于 Oxy 平面的同心圆族，由于恒定流的流线与流线上液体质点的迹线相重合，所以迹线亦是同心圆族，液体质点作圆周运动。48 已知 ux =4x，u y =4y ，试求该流动的速度势函数和流函数，并绘出流动图形。解：由习题 38 和 319，可知该流动存在流函数 和速度势函数 。，xy292dd4d(

6、)xyuxyxy积分上式可得： 2()，xyyudd4d4()yuxxy积分上式可得 流动图形如题 416 图所示。49 已知 =a（x 2y 2） ，式中 a 为实数且大于零。试求该流动的流函数 。解： ，xua2uyddd()yxx积分上式可得 2410 已知速度势函数 ，式中 M 是不为零的常数。试求该流动的流函cos数，并绘出流动图形。解： ，21Mu cos2对 积分可得d()cosd()in()f ff上式对 取偏导数，则 2sin()fu又 Mu由上两式可得 ，即 常数。因此可得()0f()fsin2上述流动即为偶极流。流动图形可参照题 410 图。411 已知流函数 =3x2y

7、y 3，试判别是有势流还是有涡流。证明任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离 。解： 3,6x yuuxyy，所以是有势流。6,2222249()39()9xyxy，所以任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离。3u4-12 设水平面流场中的速度分布为 ， ，k 是不为零的常数，如图所u0u示。试求流场中压强 p 的分布。设 =， =0 处的压强为 p；水的密度为 F。j题 4-10 图30解：由例 3-6（如题 4-12 图所示）知，该流体运动除原点（ =0）外，是有势流。因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流；又因在同一水平面内，所以流场中除原点（=0 ，u= ）外，

8、 ，因此 。2FFupg22FFukp由上式可知，压强 p 随半径 的减小而降低。4-13 水桶中的水从桶底中心小孔流出时，常在孔口上面形成旋转流动，水面成一漏斗形，如图 a 所示。流速场在平面内，如图 b 所示，可表示为 ，u =0，k 是不为零的常数。试求自由水面曲线的方程式。解：该流体流动除原点（=0）外，是有势流。因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流，流动剖面如图所示。当 时，水面高程为 h；另取自由表面上任意点 M，对上述两点写伯努利方程，可得, , 该式即为自由表面方程式。222Mukhzzgg2kzhg414 直角（ ）弯头中的流动，设为平面势流，如图所示。已知

9、弯头内、外侧壁90的曲率半径 r1、r 2 分别为 0.4m 和 1.4m，直段中均匀来流的流速为 10m/s，流体密度为1.2kg/m3。试求弯头内外侧壁处的流速和内外侧壁的压强差。解：由例 46（如题 4-14 图所示）知弯段内的流速分布为 ，式中 是不为零ku的常数。 值可由连续性方程决定，即k221121dlnrrrkvbu0(.4)7.9ln外壁处流速 ，2.m/s5.1/1ku内壁处流速 17.9.8s04内外壁处的压强差 12222F21.()(195.7)N/m19.6/pu（注：外侧压强大）题 4-12 图题 4-14 图31415 已知（1） ， ，k 是不为零的常数；（2

10、） , ,0u 0u2为常数。试求上述两流场中半径为 1 和 2 的两条流线间流量的表示式。解：（1） ，kln()f，()0uf1()fC，1lnkC22lnqk（2） ，u()f，()0f2()fC，21C2211()q416 直角内流动。已知平面流动的速度势 =a(x2y 2)，流函数 =2axy，式中 为a实数且大于零。等流函数、等势线，如图所示；当 =0 时的流线称零流线，与两轴线重合。如果将 x、y 轴的正轴部分，用固体壁面来替换，即得直角内流动。试分析该流动沿壁面流动时，壁面上的压强分布。设静止处（坐标原点）的相对压强为零，流体密度为 F。解: ，2xuax2yuy沿壁面流动时，

11、分两种情况：当沿 x 轴流动时， ，02xua，22FF()0pgpg2Fpa当沿 y 轴流动时， ， ，可得xyu2Fy上述两种情况说明，负压随距转角点距离的平方成正比地增大。417 兰金（ Rankine）椭圆。均匀直线流沿 x 轴方向的速度为 u；源流强度与汇流强度均为 q，汇点置于 x 轴上，位于源点的右边，他们与坐标原点 O 的距离均为 a。如果将上述组合成的复合势流的流函数 =0 时的流线方程，用固体边界来代替，这个轮廓线称兰金椭圆，如图所示。试求该椭圆长半轴 l、短半轴 b 的方程。解：题述流动组合成的复合势流的流函数 为(arctnarctn)2yyuyxx32速度分布为 22

12、()()xqxaqxauyy2()()y因为驻点速度为零，即 ， 解上两式可得驻点位置 ， 或 ， 为0xyus(xys)， 。s1qxas=l（即为椭圆长半轴） ， ， 。sus0通过驻点的流线的流函数 ，对于 ， ，则由上述复合势s12in流的流函数表示式可得 。所以 的流线方程即为inq。如果用固体边界来代替上式所表达的流线，这(arctnarct)02qyyuyxx个物体的轮廓线即为兰金椭圆，它的短半轴 b，可将 ， 代入上式，由试算求得。0xyb实际流体绕经上述物体时，在其后尾部将形成涡流（在第八章中要介绍） ，与上述流动的情况不同，所以不能按上述方法求解。但是，在物体的前端部，由于

13、边界层（在第八章中要介绍）很薄，且流动处于加速区，按上述理论推算与实测结果很相符合。418 源流和汇流的强度 q 均为 60m2/s，分别位于 x 轴上的（a，0） 、 （a，0）点，a为 3m。计算通过（0，4）点的流线的流函数值，并求该点的流速。解： (arctnarctn)2qyyxx6(rctnrctn)33yyx通过（0，4）点的流线的流函数值为 34304(rtrt)2rta12.9通过（0，4）点的流速为 2222603 ()m/s.29/s()()4xqxaxuyyy0a419 向右的水平均匀直线流和顺时针的环流及源流（均在原点）相叠加，如图所示。试求用直角坐标形式来表示的流速

14、分量和驻点位置。解： 2ln()arctn4qyuyxyx2221()()() x uyqxx ()y yqxyx驻点的 ，所以0xu，2()q2()uy33，20()yqxuyxq22()xxq，y （驻点坐标）uu420 设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。已知圆柱体中心位于坐标原点（0，0） ，半径为 r0=1m；均匀直线流速度 u =3m/s。试求 x =2m，y =1.5m 点处的速度分量（u ， ）和（u x，u y） 。解： 22()1.5m.arctnrta43()第 二 象 限20 21os()cos./s.0m/s.5u2in13in4.().9.r由图中可知， ，所以8

15、013687 cosi()xuuu、 均 取 正 值(.36.7.9sin.m/s=2./=+ in20co0in36.87)/s0.46m/sy 4-21 设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。已知圆柱表面上的流速分布为=2 usin ，u =0，u 是均匀直线流速度。试证明作用于圆柱表面上的压强在 x 轴及 y轴方向的合力都等于零。解：由伯努利方程可得 22FFpCgg或 22sinuFsinpC34在圆柱上取 ， = ，作用于此0ds0r微段上的压力 ；在 x、y 轴的分量分别为dFp， ，对上0dcoxsiny两式积分，分别为 2220 00s(i)cosdx FCuindinyp因为 ， ； ， .20cos20sicod20s230sind0即证明之。