某大学概率论与数理统计期末考试试题详细解答.doc

1、1 设事件 仅发生一个的概率为 0.3，且 ，则 至少有一个不发BA, 5.0)(BPAA,生的概率为解： 即3.0)(P所以 )(2.)()(3.0 BP.1) 901B2、已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.（20 分）解：设 任取一产品，经检验认为是合格品A任取一产品确是合格品 B则（1） ()(|)(|)PABP0.95.102.857（2） .()9(|)3、已知连续型随机变量 的分布函数为

2、，X ),(,arctn)( xBAxF求（1）常数 和 ， （2） ， （3）概率密度 。 （20 分）AB1(p)f4、已知随机变量 的分布律为（ 20 分）),(YX1 2 3121/3 1/6 1/9 1/18问：（1）当 为何值时， 和 相互独立。 （2）求 。,XY12YXP5、设随机变量 服从 分布，求随机变量 的概率密度函数。 （10)1,0(NeY分）6、向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 和纵坐标 相Y互独立，且均服从 分布. 求（1）命中环形区域2(0,)的概率；（2）命中点到目标中心距离2(,)|1Dxyy的数学期望.（20 分）2ZXY解： （1）

3、,)(,)DPXYfxyd2 228 8014xy rDede；2288211()rr（2）2228() xyEZXYxed2 22880 0184r red22 28 801rr red1、 （10 分）将 3 粒黄豆随机地放入 4 个杯子，求杯子中盛黄豆最多为一粒的概率八分之三（20 分）设随机变量 的概率密度为X1,02,().axxf其 它求（1）常数 ； （2） 的分布函数 ； （3）a()F(13).PX3、 （10 分）设随机变量 在区间 上服从均匀分布，求随机变量 在X),0( 2Y区间 内的概率密度为)4,0( yfY2 设随机变量 服从泊松分布，且 ，则 _.)2(4)1(

4、XP)3(答案： 6e解答： eXPeXPXP 2)(,)1()0()1(由 知 e224即 2 解得 ，故16)3(eXP3 设随机变量 在区间 上服从均匀分布，则随机变量 在区间 内的概X)2,0( 2XY)4,0(率密度为 _.)yfY答案： 1,0,14()()()2.YXyfFyfy 其 它解答：设 的分布函数为 的分布函数为 ，密度为 则,Y()XFx()Xfx2()()(YyPyPyFy因为 ，所以 ，即0,2XU0XY故 1,04,14()()()2.YXyfyFfy其 它另解 在 上函数 严格单调，反函数为0,2x()h所以 1,04,4()2.YX yfyfy其 它4 设随

5、机变量 相互独立，且均服从参数为 的指数分布， ，则, 2)1(eXP_， =_.1),min(YXP答案： ，2-4e解答：，故 2()()Pein,1min(,)1YXYP.45 设总体 的概率密度为X.其 它,0,1,)1()xxf是来自 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为_.n,21答案： 1lniix解答：似然函数为 1 11(,;)()(),)nnni niLxxx 1llliiLn0iidx解似然方程得 的极大似然估计为.1lniix2、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1设 为三个事件，且 相互独立，则以下结论中不正确的是,ABC,AB（A）若 ，则 与 也独立.(

6、)1PC（B）若 ，则 与 也独立.（C）若 ，则 与 也独立.0（D）若 ，则 与 也独立. （ ）答案：（D）.解答：因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立，所以（A） ， （B） ，（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图 可见 A 与 C 不独立.2设随机变量 的分布函数为 ，则 的值为(0,1)XN()x(|2)PX（A） . （B） .1221（C） . （D ） . （ ）)答案：（A）SA BC解答： 所以(0,1)XN(|2)1(|2)1(2)PXPX应选（A）.123设随机变量 和 不相关，则下列结论中正确的是Y（A） 与 独立. （B） .X()DXY

7、（C） . （D） . （ ）()D答案：（B）解答：由不相关的等价条件知， 0yxcov0xy），（()+2covDXY（ ， ）应选（B）.4设离散型随机变量 和 的联合概率分布为(,)1,(2)1,3(,)2,(,3)698XYP若 独立，则 的值为,（A） . （A） . 21912,9（C） （D ） . （ ）,658答案：（A）解答： 若 独立则有,XY(2,)(2)PXYPXY11393， 2故应选（A ）.5设总体 的数学期望为 为来自 的样本，则下列结论中X12,nX X正确的是（A） 是 的无偏估计量 . （B） 是 的极大似然估计量.1 1（C） 是 的相合（一致）估计

8、量 . （D） 不是 的估计量. （ ）答案：（A）解答：，所以 是 的无偏估计，应选（A）.1EX13、 （7 分）已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设 任取一产品，经检验认为是合格品 A任取一产品确是合格品 B则（1） ()(|)(|)PABP0.95.102.857（2） .()9(|)4、 （12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并

9、且概率都是 2/5. 设 为途中遇到红灯的次数，X求 的分布列、分布函数、数学期望和方差.1231698331298YX解： 的概率分布为X332()()0,123.5kkPXC即 0174682251的分布函数为X0,71258(),2,7,3,125.xFxxx63,EX.2185D5、 （10 分）设二维随机变量 在区域 上服从均(,)Y(,)|0,1xyxy匀分布. 求（1） 关于 的边缘概率密度；（2） 的分布函数与概率XZXY密度.解： （1） 的概率密度为(,)Y2,(),0.xyDfxy其 它,01()(,)X xffd其 它（2）利用公式 ()(,)Zfzfxz其中 2,01

10、(, xfx其 它 2,01,.xz其 它当 或 时0z1()Zfz时 0022zdxxz z=x1D0 1z xyx+y=1x+y=zD1故 的概率密度为Z2,01,()zf其 它 .的分布函数为Z20, ,0,()()2,11,.1,zzZZ zffydyz或利用分布函数法10,()()21,.Z DzFzPzXYzdxyz20,1,.zz2,01,()Z zfF其 它 .6、 （10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 和纵坐标 相XY互独立，且均服从 分布 . 求（1）命中环形区域2(0,)N的概率；（2）命中点到目标中心距离 的(,)|1Dxy 2Z数学期望.解

11、： （1） ,)(,)DPXYfxyd2 228 8014xy rDede；2288211()rr（2）2228() xyEZXYxedxy0 1 22 22880 01184r reded. 22 28 80rr r七、 （11 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm） ，今抽取容量为 16 的2(,)XN样本，测得样本均值 ，样本方差 . （1）求 的置信度为 0.95 的置信10x206s区间；（2）检验假设 （显著性水平为 0.05）.2:.H（附注） 0.50.50.25(6).74,()73,()3,ttt22. . .94927.48解：（1） 的置信度为 下的置信区间为1/2/2(),(1)ssXtnXtn0.510,.4,16,.32s所以 的置信度为 0.95 的置信区间为（ 9.7868，10.2132）（2） 的拒绝域为 .20:.1H2(1)n，5.64.S0.54.96因为 ，所以接受 .22.49()0H