1、1专题九：“一线三角型”模型的应用1、如图，在ABC 中，AB=AC，P、M 分别在 BC、AC 边上，且 ，AP=MP，求证：APBPMC。APMB分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据已有的知识经验，学生很快能够解决。2、如果把第 1 题中的等腰三角形改为等边三角形，如图，ABC 为等边三角形， ，BP=1, ，求ABC 的边长。60AP23CM3、如图，等腰梯形 ABCD 中， AD/BC, ，3,7,60ADcmBCP 为 BC 上一点（不与 B、C 重合） ，连结 AP，过 P 点作 PM 交 DC 于 M，使得。AM（1）求证：ABPPCM； （2）求 AB 的长；（3
2、）在底边 BC 上是否存在一点 P，使得 DM:MC=5:3？若存在，求出 BP 的长；若不存在，请说明理由。24、如图， ，且 ，,ABDC6,4,1ABcmCDBcm问：在 BD 上是否存在 P 点，使以 P、B、A 为顶点的三角形与以 P、D、C为顶点的三角形相似？如果存在，求 BP 的长；如果不存在，请说明理由。5、已知在梯形 ABCD 中，AD/BC, ，且 AD=5,AB=DC=2。ADBC（1）如图 a，P 是 AD 上的一点，满足 。P求证：ABPDPC；求 AP 的长。（2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合） ，且满足 ，PEBPEA交直线 BC
3、于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么：当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 ，求 y 关于 x 的函数解析式，,xC并写出函数自变量的取值范围；当 CE=1 时，求出 AP 的长。6、正方形 ABCD 边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直，如图。（1）证明 RtABMRtMCN；（2）设 ，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数Bx关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并求出3最大面积；（3）当 M 点运动到什么位置时 RtABMRtAMN，求 x 的值。7、如图，正
4、方形 ABCD 的边长为 4cm，点 P 是 BC 边上不与点B、C 重合的任意一点，连结 AP，过点 P 作 交 DC 于点 Q，QA设 BP 的长为 ，CQ 的长为 。xcmyc（1）求点 P 在 BC 上运动的过程中 y 的最大值；（2）当 时，求 x 的值。4y8、如图，边长为 1 的正方形 OABC 的顶点为坐标原点，点 A 在x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上。动点 D 在线段 BC 上移动（不与 B、C 重合） ，连结 OD，过点 D 作 ，交边 AB 于点 E，EO连结 OE，设 CD=t。（1）当 时，求直线 DE 的函数表达式；3t（2）当 的算术平方根取最小值
5、时，求点 E 的坐标。2ODE9、如图，在矩形 ABCD 中， （m 是大于 0 的常数） ，ABBC=8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B、C 重合） ，连结 DE，作 ，EF 与射线 BA 交于点 F，设 。FD,Exy4（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（2）若 ，求 x 为何值时， y 的值最大，最大值是多少？8m（3）若 ，要使DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？210、如图，已知在矩形 ABCD 中，AB=2,BC=3，P 是线段 AD 边上的任意一点（不含端点 A、D） ，连结 PC，过点 P 作 交ECAB 于 E。（1）在线段 AD 上是否存在不同于 P 的点 Q，使得 ？若存在，求线段 AP与 AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（2）当点 P 在 AD 上运动时，对应的点 E 也随之在 AB 上运动，求 BE 的取值范围。11、在四边形 ABCD 中 ，且 ，取,ABCDABaCbabAD 的中点 P，连结 PB、PC。（1）试判断三角形 PBC 的形状；（2）在线段 BC 上，是否存在点 M，使 。若存在，请求出 BM 的长；若不存在，请说明理由。
