1、1椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明（一）椭圆中，PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.证明：延长 F2H 至 M，交 PF1 于 M PT 平分MPF 2 ，又 F2HPT， 2|又 ，12|Pa .11|2|OaH 轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点 .（二）椭圆中，椭圆焦点三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明：如图，设以焦半径 MF2 为直径的圆的半径为 r1，圆心为 O1， 由椭圆定义知 1212|MFABMF 1121|(|)2arO、O 1 相内切 （三）设 A1、A
2、 2 为椭圆的左、右顶点，则PF 1F2 在边PF2（或 PF1）上的旁切圆，必与 A1A2 所在的直线切于 A2（或A1）.证明：设旁切圆切 轴于 ，切 于 M，F 1P 于 N，x2则 ， ， ，|PNM2|A1|A 1122|F222| |FacAacA 与 A2 重合.（四）椭圆 （abo）的两个顶点为 ,1xy1(0)a，2(,0)a2与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2 时，A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .xyab证明：设交点 ， ，0(,)Sxy1(,)mn2(,) ，11PASK22PASK 0 220 00ynmaxyynnamxamxa又222221bb
3、，即轨迹方程为022yxa021xyb21xya（五）若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线0(,)P2a0P方程是 .21yab证明：对 求导可得： ，x20xyab20xbya切线方程为即 ，200()byx2200yxb即 ，2222000aa 21xyb（六）若 在椭圆 外 ，则过 P0 作椭圆的0(,)P21xyab两条切线，切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程是.02xyab证明：设 ， ，则过点 切线分别为1(,)x2(,)xy12、122:,:yllabab 在 上 ，0P1l、 102xy2021xyab3过 P1，P 2 方程 021xyab（七）AB 是椭圆
4、的不平行于对称轴且不过原点的弦，2M 为 AB 的中点，则 .2OMABka证明：设 则(,)(,)Axy(,)2ABxy2BAOMBAByKx 又22221A ABxyxyababab2OMABk（八）若 在椭圆 内，则被 P0 所平分的中点0(,)Pxy21xyab弦的方程是 .0022ab证法 1：由上题的结论得：，020022ABOPABybxkka弦 AB 方程为2000022()yxyab若 在椭圆 内，则过 P0 的弦中点的轨迹0(,)xy21xyab方程是 .202ab证法 2：设弦交椭圆于 ， 中点 .1(,)Pxy2(,)xy(,)Smn12 022 2201 1()P P
5、Syxyxybkkxababyan22002xmnab 即 .22xyab（九）过椭圆 (a0, b0)上任一点 任意210(,)Axy作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定4向且 （常数）.20BCbxkay证明：设两直线与椭圆交于点 .12(,)(,)xy 22201xyabab2101022200ABCxkyybxa 由题意得 ，21020ybxya2010yxba展开2 21201012010()()xyxb 2201012()()ab得： （定值）210BCxyKxay（十）椭圆 (ab0) 的左右焦点分别为 F1，F 212，点 P 为椭圆上异于长轴端点的
6、任意一点 ，则椭圆12P的焦点三角形的面积为 ； 。212|cosPF12tanFSb证明：设 ， ，则 .1|m2|nma由余弦定理，2 222cos4()4nbnb.212(1)|cosbmPF12 2sinin|FP PbS tacy（十一） 若 P 为椭圆 上异于长轴端点21(0)xya的任一点,F 1, F 2 是焦点, , ，12F2P5则 .tan2ac证明：设 ， ， ， 1|PFm2|PFn2ma12|naFc又 12sicosssin|()2nc2 cossi1ta22由、得： tanca（十二）椭圆 （ab0）上存在两点关于直线 ：21xyl对称的充要条件是 .0()yk
7、x20()bxk分析：该问题等价于在椭圆上找两点，过这两点直线 ，斜1l率为 ，其中垂线 为 则 。1kl0()ykx20()abxkb0）和 （ 21xyab2yab01） ，一直线顺次与它们相交于 A、B、C、D 四点，则AB=|CD.证明：设直线方程为 ,ykxm6222222()1()0xyxkmkmxabababbk视作 的特殊情况.21xyab弦中点坐标 与 无关.2121Dkmxba而 与 无关.ykxm(,)Dxy线段 中点重合 .,ABC|ABC（十四）已知椭圆 ，A 、B 是椭圆上的21(0)xyab两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则0()Px.220
8、ababx证明：设 A 为 B 为1(,)y2(,)xy211212121222()()Dx yyababyxkab21oDDoyabPxykx22Dax（十五）已知椭圆方程为 两焦点分别21(0),yab为 设焦点 ， 则椭圆12,F12PF1221,PF的离心率 。sin()e7证明： 由正弦定理得：sini)180sin( 122PFFo由等比定理得： i)si(2121而 ，)in()sin(21cFsinsin21aPF 。siace（十六）已知椭圆方程为 两焦点分21(0),xyab别为 设焦点 中 则12,F12PF12,2cos1.e证明：设 则在 中，由余弦定理得：,r1224)(2cos 1112 rcarcr命题得证。.)2( 2212 eacrca
