1、1实数的大小比较的常用方法一、法则法比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。例 1 比较 与 5的大小。析解：由于 |,|，且 5，所以 5。说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。二、平方法用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数 a、b 有： ba2。例 2 比较 73与 的大小。析解：由于 147)3(,6)(22，而 14763，所以 37。说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。三、数形
2、结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。例 3 若有理数 a、b、c 对应的点在数轴上的位置如图 1 所示，试比较a、a、b、b、c、c 的大小。析解：如图 2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数 a、a、b、b、c、c 表示的点画出来，容易得到结论： .cbabc四、作差法： 差值比较法的基本思路是设 a，b 为任意两个实数，先求出 a 与 b 的差，再根据2当 ab0 时，得到 ab。当 ab0 时，得到 ab。当 ab0，得到 a=b。例 1：（1）比较 与 的大小。 （2）比较 1 与 1 的大小。解 0 ， 。解 （1 ）（
3、1 ）= 0 ， 1 1 。例 2、比较 的大小。解析：因为 ，所以 。五、作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数 a、b 有： ;ba1;ba1.ba1来比较 a 与 b 的大小。例 1：比较 与 的大小。解： = 1 例 2 比较 0821与 0832的大小。析解：设 12n,1m32，1208a，则 ,08a,08a,nm,1a2a,0)1a(2,1a2an,434343323即.120812083例 3：比较 与 的大小 9解： = = 1 2012018940361所以 98六、倒数法倒数法的基本思路是设 a，b 为任意两个正实数，先分别求出 a 与 b 的倒数，再根据当 时，ab
4、。来比较 a 与 b 的大小。例 1：比较 与 的大小。解 = + ， = +又 + + 例 2、已知 a1,b2,试比较 与 的大小 12a23b解： = + =2+ 因为 a1，所以 2+ 3a1a= + =3+ 因为 b2，所以 3+ 3 b3bb因为 所以 2231a23例 3、设 ，则 a、b、c 的大小关系是（ ）。A、abc B、acb C、cba D、bca解析：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法。首先， ，4， 因为 ，所以，则 bc。又因为 ，所以 ，则 ab。由此可得：abc。故选 A。七、平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分
5、别平方，再根据 a0，b0 时，可由 得到 ab 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例 5：比较 与 的大小解： ， =8+2 。又8+2 8+2 。八、估算法估算法的基本是思路是设 a，b 为任意两个正实数，先估算出 a，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例 4：比较 与 的大小解：3 4 31 九比较被开方数法。基本是思路是，当 a0，b0，若要比较形如 a 的大小，可先把根号外的因数 a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。例 6：比较 2 与 3 的大小解：2 = = ，3 = = 。又2827， 2 3 。十、特殊值法比较两个实数的大小，有时取
6、特殊值会更简单。例 1：当 时， ， ， 的大小顺序是_。5解：（特殊值法）取 = ，则： = ， =2。 2， 。例 2、已知 xy0，设 ，则 M、N、P、Q 的大小关系是（ ）。A、MQPN B、MPQN C、QNPM D、NQPM解析：根据条件，不妨设 ，则 M=4，N=1， 。不难得到：NQPM。因此，应选 D。例 3、已知 a1,b2,则 _ (填、或=) 12a23ab分析：为填空题，可用赋值法。取 a=2，b=3 代入， 所以填入“”。513例 4 设 a2 0，b(3) 2，c ，d ，则 a、b、c、d 按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A.cadb B.bdac C.ac
7、db D.bcad分析 可以分别求出 a、b、c、d 的具体值，从而可以比较大小.解 因为 a2 01，b(3) 29，c ，d 2，而 129，所以 cadb.故应选 A.除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。十一、 中间值法（还是判不了，就把中人找） 如果 ac，cb，那么 ab。若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法。例 1、比较 的大小。解析：因为 ，所以 。所以 ，即。例 2、比较3.55 和 的大小 9436解: 3.553.5 即 3.59435.943所以3.553.5 即3.55十二、分子有理化法例 14、比较 的大小。解析： ，。因为 ，故 ，所以 。
