1、第二章 一元二次方程本章中考动向：会用因式分解法、公式法、配方法解简单系数的一元二次方程；了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系并能进行简单运用；能根据具体问题中的数量关系列方程，能根据具体问题的实际意义检验方程的解的合理性。一. 知识点：1. 一元二次方程的概念只含有一个未知数 的整式方程，并且都可以化成 （a，b，c 为常数，a0）x2ax的形式，这样的方程叫做一元二次方程。注：（整式方程，含有一个未知数；整理后未知数的最高次数是 2） 2. 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于 的一元二次方程，经过整理，化成： （a0） 。x2axbc这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中
2、是二次项，a 是二次项系数； 是一次项，b 是一2xx次项系数，c 是常数项。关键：（1）a0；（2）系数带上符号3.一元二次方程的解（根）能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。应用：若是方程的解（根） ，则代入方程，可使其成立。通常结合恒等变形来求一些式子的值。例：已知 a 是方程 的一个根，试求 的值。2310x3251a4. 配方法解一元二次方程：将一元二次方程转化成 （n0）的形式。xm通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根。 （n0） 。2关键：将二次项系数化为 1 的方程的两边同时加上一次项系数一半的平方xnm注：在求解一些式子
3、的最值问题时，我们是将式子配成完全平方，再利用完全平方式子的非负性来解决。例如：当 x 取何值时，代数式 的值最小？求出这个最小值？267x5. 公式法解一元二次方程对于一元二次方程 （a0） ，当 0 时，利用配方法可算出它的根是2abc24bac，这个式子成为一元二次方程的求根公式。4bx关键步骤：（1）将方程化为一般形式，确定公式中 a，b，c 的值；（2）先求出 的值，24bac再考虑是否用公式。6. 一元二次方程根的判别式（= ）24b（1）0 时，方程 （a0）有两个不等的实数根2axc（2）=0 时，方程 （a0）有两个相等的实数根（3）0 时，方程 （a0）没有实数根2axbc
4、7因式分解法解一元二次方程（ab=0，则 a=0 或 b=0）步骤：（1）整理方程，使其右边为 0（这很重要） ；（2）将方程左边分解为两个一次式的乘积；（3）令每个一次式分别为 0，形成两个一元一次方程，他们的解就是一元二次方程的解。常用的因式分解法：（1）提公因式；（2）公式法；（3）十字相乘：()()xabxab对于第三种方法要牢记两数之和为一次项系数，两数之积为常数项，此法在应用题中比较方便。技巧：右化零，左分解，两因式，各求解8. 一元二次方程的根与系数的关系（1） ， 2bxa12cxa（2） ()（3） 2212111()4xxx9一元二次方程解应用题 （1）列方程解应用题的关键
5、在于找出题目中的等量关系，有些等量关系比较明显，有些隐含在题意当中，需要分析题意，挖掘出来。（2）在一元二次方程解应用题中，还有一个关键的地方在于舍根。检验方程的根，把不符合实际意义和不符合题意的根舍去。（3）常见的等量关系常见题型 等量关系几何问题 各种图形的周长、面积、体积公式等销售问题 利润=售价-进价利润率=利润 进价=（售价 -进价） 进价售价=进价 （1+利润率） 总利润=总售价-总成本=单个利润 总销量 增长率问题 （a 为起始量，b 为终止量，x%为增长率）2(1%)ax利润问题 本息和=本金+利息利息=本金 利率 存期三. 重难点分析1.一元二次方程和一元二次方程的根的问题（
6、1）一元二次方程要抓住未知数 x 的最高次数 2；二次项系数不为零两个关键点（2）如果有 X0是方程 的解，则有式子 成立。当求含有 X0代数20axbc20axbc式的值时，找出该代数式与 相类似的结构进行整体代入求值。02.解一元二次方程的问题（1）根据方程的形式，用适当的方法求解一元二次方程（公式法和配方法适用于所有一元二次方程，因式分解则适用于部分方程）（2）利用判别式（= ） ，我们可以确定方程根的情况，若有根则 0。但是要注意一些二24bac次项前面有未知数的方程，若明确说是一元二次方程，则要考虑二次项不为零；若只是说是方程，则要更具二次项系数是否为零进行分类讨论。（3）在没有规定
7、方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法。对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法。（4）知道一元二次方程的两个根，就可以知道用因式分解法求解的过程， ， （注意：和分解出来的数互为相反数）()0xab1xa2b3.根与系数的关系问题（1）已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求出方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根，也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值。如：已知关于 的方程 的一个根是 2，求方程的另一个根和 的值？ x22650xpp（2）已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定字母表示两根
8、之和和两根之积，然后将已知的两根关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，求出待定字母的值，注意检验根的合理性。（3）运用根与系数的关系解决问题的前提条件是方程有实数根，即 0，在利用根与系数的关系求方程待定字母的值时，必须代到根的判别式中检验。如：已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实根，且 。1x2x260xk21215x（1）求 k 的值；（2）求 的值。2184. 一元二次方程解应用题（1）列方程时，从最基本的等量关系入手，逐步把所有的已知条件表示出来。 （2）解一元二次方程时，一般情况下都是整数解，因此是可以进行因式分解的，但是前提是方程化为一般形式的过程中不要出错。（3）一般情况下一元二次方程的解有两个，对于实际问题，这就涉及到一个舍根的问题，根据常识（如增长率不为负数，三角形的三边关系）来舍根，或者根据题目中的要求来舍根。
