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9.4 单步法的收敛性与稳定性 9.4.1 收敛性与相容性 数值解法的基本思想是，通过某种离散化手段将微分方程（1.1）转化为差分方程，如单步法（2.10），即 （4.1）它在 处的解为 ，而初值问题（1.1），（1.2）在 处的精确解为 ，记 称为整体截断误差. 收敛性就是讨论当 固定且 时 的问题. 1 定义3 若一种数值方法（如单步法（4.1）对于固定的 , 当 时有 ，其中 是（1.1），（1.2）的准确解，则称该方法是收敛的. 显然数值方法收敛是指 ，对单步法（4.1）有下述收敛性定理： 定理1 假设单步法（4.1）具有 阶精度，且增量函数 关于 满足利普希茨条件 （4.2）又设初值 是准确的，即 ，则其整体截断误差 （4.3）2 证明 设以 表示取 用公式（4.1）求得的结果，即 （4.4）则 为局部截断误差，由于所给方法具有 阶精度，按定义2，存在定数 ，使又由式（4.4）与（4.1），得 利用假设条件（4.2），有 3从而有 即对整体截断误差 成立下列递推关系式 （4.5）反复递推，可得 （4.6）4再注意到当 时 最终得下列估计式 （4.7）由此可以断定，如果初值是
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