分段函数的几种常见题型及解法.doc

1、 函数的概念和性质考点 分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1求分段函数的定义域和值域例 1求函数 的定义域、值域. 12,0;()()3,;xf2求分段函数的函数值例 2已知函数 求 . 2|1|,(|)()xf12()f3求分段函数的最值例 3求函数 的最大值. 43(0)(

2、)15xf4求分段函数的解析式例 4在同一平面直角坐标系中, 函数 和 的图象关于直线 对()yfx()gyx称, 现将 的图象沿 轴向左平移 2 个单位, 再沿 轴向上平移 1 个单位, 所得()ygx y的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数 的表达式为（ ）()fx2(10).()2xxAf2().()0xBfx2(12).()4xCf26().()3xxDf -12131o-2yx5作分段函数的图像例 5函数 的图像大致是（ ）|ln1|xyeA11oyxByx1 1OCyxO 11DyxO 116求分段函数得反函数例 6 已知 是定义在 上的奇函数, 且当 时, , 设(

3、)yfxR0x()31xf的反函数为 , 求 的表达式. ()fxg()x7判断分段函数的奇偶性例 7判断函数 的奇偶性. 2(1)0()xf8判断分段函数的单调性例 8判断函数 的单调性. 32(0)()xf例 9写出函数 的单调减区间. ()|12|fxx9解分段函数的方程例 10设函数 , 则满足方程 的 的值为 812()log)xf 1()4fx10解分段函数的不等式例 11设函数 , 若 , 则 得取值范围是（ ）12(0)()xf0()1fx0x.(1,)A.(,)B.(,2)(,)C.(,1)(,)D例 12设函数 , 则使得 的自变量 的取值范围214()xffxx为（ ）A

4、 B. (,20,1(,20,1C. D. 反馈练习1 （2013 新课标全国，5 分）已知函数 f(x)Error!若| f(x)| ax，则 a 的取值范围是( )A(，0 B.(，1C2,1 D2,02 （2013 福建，4 分）已知函数 f(x)Error!则 f _.(f(4)3 （2013 北京，5 分）函数 f(x)Error!的值域为_ 4 （2012 江西，5 分）若函数 f(x)Error!则 f(f(10)( )Alg 101 B2C1 D05 （2011 北京，5 分）根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 (单位：分钟)为f(x)Error!( A， c 为

5、常数)已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是 ( )A75,25 B75,16C60,25 D60,166 （2012 江苏，5 分）设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1 上， f(x)Error!其中 a， bR.若 f( ) f( )，则 a3 b 的值为_ 12 327 （2011 江苏，5 分）已知实数 a0，函数 f(x)Error!若 f(1 a) f(1 a)，则 a 的值为_函数的概念和性质考点一 分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数,

6、它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1求分段函数的定义域和值域例 1求函数 的定义域、值域. 12,0;()()3,;xf【解析】作图, 利用“数形结合”易知 的定义域为 , 值域为 . ()fx1)(1,32求分段函数的函数值例 2已知函数 求 . 2|1|,(|)()xf12()f【解析】因为 , 所以 . 3122()|f31222314()()ff3求分

7、段函数的最值例 3求函数 的最大值. 43(0)()15xf【解析】当 时, , 当 时, , 0xmax()03ff1xmax()14ff当 时, , 综上有 . 1x14max()44求分段函数的解析式例 4在同一平面直角坐标系中, 函数 和 的图象关于直线 对()yfx()gyx称, 现将 的图象沿 轴向左平移 2 个单位, 再沿 轴向上平移 1 个单位, 所得()ygx y的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数 的表达式为（ ）()fx11o322-1yx-12(10).()2xxAf2().()0xBfx2(12).()4xCf26().()3xxDf【解析】当 时, ,

8、 将其图象沿 轴向右平移 2 个单位, 再沿 轴向下平0x12yxxy移 1 个单位, 得解析式为 , 所以 , 12()()(10)fxx当 时, , 将其图象沿 轴向右平移 2 个单位, 再沿 轴向下平移 1 个x1yxxy单位, 得解析式 , 所以 , 综上可2()41()(2)fxx得 , 故选 A. 20()()xxf5作分段函数的图像例 5函数 的图像大致是（ ）|ln1|xyeA11oyxByx1 1O-12131o-2yxCyxO 11DyxO 11解析：在定义范围讨论，当 01 时 ，故选 Dyxy6求分段函数得反函数例 6 已知 是定义在 上的奇函数, 且当 时, , 设(

9、)yfxR0()31xf的反函数为 , 求 的表达式. ()fxg()x【解析】设 , 则 , 所以 , 又因为 是定义在 上的奇函数, 0x()31xf()fxR所以 , 且 , 所以 , 因此()(ff0)f xf, 从而可得 . 31()0xxf3log(1)0)()0lx7判断分段函数的奇偶性例 7判断函数 的奇偶性. 2(1)0()xf【解析】当 时, , , 当 时, 0x0x22()(1)()(fxxfx0, 当 , , 因()ff021)(f fx此, 对于任意 都有 , 所以 为偶函数. xR()fxf()x8判断分段函数的单调性例 8判断函数 的单调性. 32(0)()xf

10、【解析】显然 连续. 当 时, 恒成立, 所以 是单调递增函数, ()fx02()31fx()fx当 时, 恒成立, 也是单调递增函数, 所以 在 上是单02x R调递增函数; 或画图易知 在 上是单调递增函数. ()fR例 9写出函数 的单调减区间. |1|2|xx【解析】 , 画图易知单123()()fx调减区间为 . 12(,9解分段函数的方程例 10 （01 年上海）设函数 , 则满足方程 的812()log)xf 1()4fx的值为 x【解析】若 , 则 , 得 , 所以 （舍去）, 若 , 142x2x(1x2x184logx则 , 解得 , 所以 即为所求. 83()310解分段

11、函数的不等式例 11设函数, 12(0)()xf若 , 则 得取值范围是（ 0()1fx0x ）.A.(,)B(,2)C.1(,)D【解析 1】yx52o-1252xy1-1 1首先画出 和 的大致图像, 易知 时, 所对应的 的取值范围()yfx10()1fx0x是 . (,1),【解析 2】因为 , 当 时, , 解得 , 当 时, , 0()fx0x021x01x0x120x解得 , 综上 的取值范围是 . 故选 D. 1(,)()例 12设函数 , 则使得 的自变量 的取值范围2)()41()xfx()1fxx为（ ）A B. (,20,(,20,C. D. 11【解析】当 时, ,

12、所以 , 当x2()()0fxx或 21xx或 0时, , 所以 , 综上所114131述, 或 , 故选 A 项. 20【点评：】 以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显. 反馈练习1 （2013 新课标全国，5 分）已知函数 f(x)Error!若| f(x)| ax，则 a 的取值范围是( )A(，0 B.(，1C2,1 D2,0解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力当 x0