导数常见题型归纳.doc

1、1导数常见题型归纳一、常规应用与含参数的单调区间的讨论：1.设函数 ()xef（1） 求函数 f的单调区间；21 世纪教育网 （2） 若 0k，求不等式 ()1)(0fxkfx的解集解： (1) 221()fxee, 由 ),得 1x.因为 当 时, ()0f； 当 x时, (f； 当 时, ()0fx；所以 ()fx的单调增区间是: 1,)； 单调减区间是: ,0)(， .小结：此问是最基本的单调区间求解问题。(2) 由 2()(xxkfkfe2(1)xke,得： 10x. 故：当 k时, 解集是： 1xk；当 时，解集是： ；当 1时, 解集是： . 21 世纪教育网 2.设函数 3()(

2、0)fxab.（）若曲线 yfx在点 2,(fx处与直线 8y相切，求 ,ab的值；（）求函数 ()的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（） 23fxa,曲线 ()yfx在点 2,()fx处与直线 8y相切， 203404,2.86abf（） 2xa,2当 0a时， 0fx，函数 ()fx在 ,上单调递增，此时函数 ()没有极值点.当 时，由 fxa，当 ,xa时， 0，函数 ()fx单调递增，当 时， fx，函数 单调递减，当 ,x时， ，函数 ()fx单调递增，此时 a是 ()f的极大值点， xa是 的极小

3、值点小结：此题是针对根的大小讨论单调区间。3.已知函数 .axxf31)(23（）讨论函数 的单调性；（）若曲线 上两点 A、B 处的切线都与 y 轴垂直，且线段 AB 与 x 轴有公共点，)(fy求实数 a 的取值范围.解 （）由题设知 .令 .)2(36)(,02axaxfa axf 2,0)(1得当（i）a0 时，若 ，则 ，所以 在区间 上是增函数；),(x)(xf)(f),(若 ，则 ，所以 在区间 上是减函数；2,0a0x2,0a若 ，则 ，所以 在区间 上是增函数；),(x)(xf)(f),(（i i）当 a0 时，若 ，则 ，所以 在区间 上是减函数；)2,(0)(f)(xf)

4、2,(a若 ，则 ，所以 在区间 上是增函数；,axx0,若 ，则 ，所以 在区间 上是减函数.)0()(f)(xf)(（）由（）的讨论及题设知，曲线 上的两点 A、B 的纵坐标为函数的极值，fy且函数 在 处分别是取得极值 ， .)(xfya2,a31)0(134)2(af因为线段 AB 与 x 轴有公共点，所以 .即2f 0)2.所以 . 故 .0)4(3)1(2a 0,)4(3)1( a且解得 1a0 或 3a4.即所求实数 a 的取值范围是-1，0) 3，4.答案应为 a-1 或 3a4.即所求实数 a 的取值范围是 3，4.(,13小结：1、此题（1）问是针对根的大小讨论单调区间的，

5、并且要注意参数正负对不等式解的影响。2、此题（2）问是利用极值点进行问题的转化的。4. 已知函数 的图像过点（-1，-6） ，且函数 的32()fxmnx()6gxfx图像关于 y 轴对称。 （1）求 m,n 的值及函数 的单调区间；（2）若 a0，求函数()yfx在区间 内的极值。f,)a解：（1）由函数图像过（-1，-6 ） ，得 m-n=-3，由 ，得：32()fxnx2()3fxmxn而 图像关于 y 轴对称，所以： ，即 m=-3,所以(6)gm6023n=0由 得：2()30fx(,0)(2,)x所以，单调递增区间为 ， ，递减区间为(,)(,)（2）由 ，得：x=0,x=2；6所

6、以函数 在区间 内有：)yf1,a当 0a1 时， 有极大值为 ，无极小值；(x(0)2f当 1a3 时， 有极小值为 ，无极大值；6当 a3 时， 无极值。)f小结：此题第 2 问的解题关键是发现区间 的长度刚好等于函数的两个极值点之(1,)a间的距离，从而找到分类讨论的分类标准。二、问题转化型：5.设函数 329()6fxx （1）对于任意实数 ， ()fm恒成立，求 的最大值；（2）若方程 ()0fx有且仅有一个实根，求 a的取值范围 解：(1) 23963(1)2x, 因为 (,)x, fm, 即 9(6)0xm恒成立, 所以 8120, 得 34，即 的最大值为 34(2) 因为 当

7、 x时, ()f;当 12x时, ()fx;当 2时, ()0fx;所以 当 时, 取极大值 5()fa; 当 2x时, ()f取极小值 ;4故当 (2)0f 或 (1)f时, 方程 ()0fx仅有一个实根. 解得 2a或 5.小结：此题把问题转化成利用函数的极值点进行解决。6.已知函数 32()(,)fxaxbR（1）若 图象上的点 处的切线斜率为-4，求 的极大值。yf1,()yfx（2）若 在区间 上是单调减函数，求 a+b 的最小值。()fx,2略解：（1）易得 a=-1,b=332()f由 解得 (3)10xx12,3x从而易用导数法求得极大值为 f（2）此问可用根的分布理论解决。由

8、题意知 的两根必需分布在区间 外，从而由根的分布理论2()0fxab1,2可得： ，进而由线性规划解得101()4f min3()ab小结：此题转化为用线性规划求最值。7. 设 ， 是函数 的两个极值点，且1x2 )0(23)(2axbxaf12（1）若函数 在点（0，0）处的切线与直线 垂直，求 a， b的值；)(xf 14xy（2）求 的取值范围.2b解：（1） ，22)(abxxf 地 的两个极值点， 是 的两个实根，又 ，2， 21x， 0)(f 0a ， .01axax21 ，通过分析符号关系进行形式22121211|()bxa5转换是求解此问的关键 ，2|1x ，即 ，42ab )

9、1(4232aab又函数 在点（0，0）处的切线与直线 垂直，)(xf xy ，解得 ， ， ， .412af 21a0a21b（2）由（1）知，可设 ， ， ，324)(gb0a 3418)(aag且由 得 ，由 得 .00)(132a 在 上单调递增，在 上单调递减.)(ag)32, 1, ， .716(max2760b小结：在第 2 问中使用了导数法求最值，从而求出了范围。8.已知 为偶函数，曲线 过点 ， ()fbc()yfx2,5)()(gxafx（）若曲线 有斜率为 0 的切线，求实数 的取值范围；()ygxa（）若当 时函数 取得极值，确定 的单调区间1()()yx解: （） 为

10、偶函数,故 即有2()fxbc(ff解得2()xbc0又曲线 过点 ,得 有()yf25)25,c1从而 , 曲线3gxaxax 2()31gxax有斜率为 0 的切线，故有 有实数解.即 有实数解.此时()y()0g0有 解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 241A6所以实数 的取值范围:,3,aa,3,a（）因 时函数 取得极值,故有 即 ,解得1x()ygx(1)0g2102又 令 ,得 2()34(31)g()x12,3x当 时, ,故 在 上为增函数1x0gx(x,当 时, ,故 在 上为减函数()3()3当 时, ,故 在 上为增函数xx(gx1,9. 对于 总有 成立，

11、则 = 。3()1fa1)0fa【答案】4解法一：本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使 恒成立，只要 在 上恒成立。()0fxmin()fx,1223(1a当 时， ，所以 ，不符合题意，舍去。01)3fxmin()20fx当 时 ，即 单调递减，222(1a()fx，舍去。min()0fxf当 时03a(fxa 若 时 在 和 上单调递增，1()f1,a在 上单调递减。,a所以 min1()(),fxfa(1)40042faa 当 时 在 上单调递减，1a()fx,，不符合题意，舍去。综上可知 a=4.min()()20fxf7解法二：本小题考查函数单调

12、性的综合运用若 x0，则不论 取何值， 0 显然成立；当 x0 即 时，afx1,31fx0 可化为， 231a设 ，则 ， 所以 在区间 上单调递增，在区23g 4gxgx,2间 上单调递减，因此 ，从而 4；1,ma12a当 x0 即 时， 3fx0 可化为 ，,231x 412xg在区间 上单调递增，因此 ，从而 4，综上 4g1,0mangxa【答案】4三、其它非常规套路题，发散思考型：已知二次函数 )(xgy的导函数的图像与直线 2yx平行,且 )(xgy在 =1 处取得最小值 m1(m 0).设函数 xgf)(1)若曲线 )(xfy上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 ,

13、求 m 的值(2) (Rk如何取值时,函数 kfy)(存在零点,并求出零点.【解析】 （1）设 2gxabc，则 2gxab；又 的图像与直线 y平行 1a又 x在 1取极小值， 12 ， 2gabcm， c；xf， 设 为 上任意一点，0(,)Pxy0(fx则 222000PQy220m24m 2m；21 世纪教育网 （2）由 10yfxkx，得 2 *8当 1k时，方程 *有一解 2mx，函数 yfxk有一零点 2mx；当 时，方程 有二解 410，若 ， 1，函数 yfxk有两个零点 12kkx；若 0，1km，函数 yfxk有两个零点 411mkkx ；当 1时，方程 *有一解 40k, k, 函数yfxk有一零点 1xk 21 世纪教育网