复杂电阻网络的处理方法.doc

1、1复杂电阻网络的处理方法一：有限电阻网络原则上讲解决复杂电路的一般方法，使用基尔霍夫方程组即可。它包含的两类方程出自于两个自然的结论：（1）对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入的电流之和。电路中任何一个闭合回路，都符合闭合电欧姆定律。下面我介绍几种常用的其它的方法。1：对称性简化所谓的对称性简化，就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的计算。它的效果是使计算得以简化，计算最后结果必须根据电阻的串、并联公式；电流分布法；极限法等来完成。在一个复杂的电路中，如果能找到一些完全对称的点，那么当在这个电路两端加上电压时，这些点的电势一定是相等的，即使用导线把这些点连接起来也不会有电流（

2、或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响） ，充分的利用这一点我们就可以使电路大为简化。例（1）如图 1 所示的四面体框架由电阻都为 R 的 6 根电阻丝连接而成，求两顶点 A、B 间的等效电阻。图 1 图 2分析:假设在 A、B 两点之间加上电压，并且电流从 A 电流入、 B 点流处。因为对称性，图中 CD 两点等电势，或者说 C、D 间的电压为零。因此，CD 间的电阻实际上不起作用，可以拆去。原网络简化成简单的串、并联网络，使问题迎刃而解。解：根据以上分析原网络简化成如图 2 所示的简单的串、并联网络，由串、并联规律得RAB=R/2例（2）三个相同的金属圈两两正交地连成如图所示的形状，

3、若每一个金属圈的原长电阻为 R，试求图中A、B 两点之间的等效电阻。图 3 图 4 图 5分析：从图 3 中可以看出，整个电阻网络相对于 AB 的电流流入、流出方式上具有上下对称性，因此可上下压缩成如图所时的等效减化网络。从如图 4 所示的网络中可以看出，从 A 点流到 O 电流与从 O 点到 B 电流必相同；从 A1 点流到 O 电流与从 O 点到 B1 电流必相同。据此可以将 O 点断开，等效成如图5 所示的简单网络，使问题得以求解。解：根据以上分析求得 RAB=5R/48例（3）如图 6 所示的立方体型电路，每条边的电阻都是 R。求 A、G 之间的电阻是多少？分析: 假设在 A 、G 两

4、点之间加上电压时，显然由于对称性 D、B、E 的电势是相等的，C 、F、H 的电势也是相等的，把这些点各自连起来，原电路就变成了如图 7 所示的简单电路。DCDCB Arrrr2/BAr2/r/rBOEBCHDF6图 AEFH7图2解:由简化电路，根据串、并联规律解得 RAG=5R/6（同学们想一想，若求 A、F 或 A、E 之间的电阻又应当如何简化？）例（4）在如图 8 所示的网格形网络中，每一小段电阻均为 R，试求 A、B 之间的等效电阻 RAB。图 8 图 9图 10 图 11分析:由于网络具有相对于过 A、B 对角线的对称性，可以折叠成如图 9 所示的等效网络。而后根据等电势点之间可以

5、拆开也可以合并的思想简化电路即可。解法(a)：简化为如图 9 所示的网络以后，将 3、O 两个等势点短接，在去掉斜角部位不起作用的两段电阻，使之等效变换为如图 10 所示的简单网络。最后不难算得RAO=ROB=5R/14RAB= RAO+ROB=5R/7解法(b)：简化为如图所示的网络以后，将图中的 O 点上下断开，如图 11 所示，最后不难算得RAB=5R/72：电流分布法设定电流 I 从网络 A 电流入，B 电流出。应用电流分流思想和网络中任意两点之间不同路径等电压的思想，建立以网络中的各电阻的电流为未知量的方程组，解出各电流 I 的比例关系，然后选取 A 到 B 的某一路经计算 A、B

6、间的电压，再由 RAB=UAB/IAB 即可算出 RAB例：有如图 12 所示的电阻网络，求 A、B 之间的电阻 RAB分析：要求 A、B 之间的电阻 RAB 按照电流分布法的思想，只要设上电流以后，求得 A、B 间的电压即可。图 12解：设电流由 A 流入，B 流出，各支路上的电流如图所示。根据分流思想可得I2=I-I1I3=I2-I1=I-2I1A、O 间的电压，不论是从 AO 看，还是从 ACO 看，都应该是一样的，因此I1(2R)=(I-I1)R+(I-2I1)R解得 I1=2I/5ABCDACDO123454/R2O/2/ OABCD123450 OBC25I1I43IBA3取 AO

7、B 路径，可得 AB 间的电压UAB=I1*2R+I4*R根据对称性I4=I2=I-I1=3I/5所以 UAB=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5RAB=UAB/I=7R/5这种电流分布法事实上已经引进了基尔霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。3：Y 变换复杂电路经过 Y 变换，可以变成简单电路。如图 13 和 14 所示分别为 网络和 Y 网络，两个网络中得 6 个电阻满足怎样的关系才能使这两个网络完全等效呢 ?所谓完全等效，就是要求Uab=Uab,Ubc=Ubc,Uca=UcaIa=IA,Ib=IB,Ic=IC在 Y 网络中有IaRa-IbRb=UabIcRc-IaRa=UcaIa+

8、Ib+Ic=0图 13 图 14解得 Ia=RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)在 网络中有IAB=UAB/RABICA=UCA/RCAIA=IAB-ICA解得 IA= （U AB/RAB）- （ UCA/RCA）因为要求 Ia=IA ，所以RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)= （U AB/RAB）-（ UCA/RCA）又因为要求 Uab= UAB ，U ca= UCA 所以要求上示中对应项系数相等，即RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc -（1）RCA=(RaRb+R

9、bRc+RcRa)/ Rb-（2）用类似的方法可以解得RBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra-(3)(1)、 （2） 、 （3）三式是将 Y 网络变换到 网络的一组变换式。在(1)、 （2） 、 （3）三式中将 RAB 、R BC、R CA 作为已知量解出 Ra、R b、R c 即可得到Ra=RAB*RCA/(RAB+RBC+RCA)-（4）Rb=RAB*RBC/(RAB+RBC+RCA) -（5）Rc=RBC*RCA/(RAB+RBC+RCA) -（6）(4)、 （5） 、 （6）三式是将 网络变换到 Y 网络的一组变换式。bRacIIICARBIIIBA4例（1）求如图 15 所

10、示双 T 桥网络的等效电阻 RAB。图 15 图 16分析：此题无法直接用串、并联规律求解，需要将双 T 桥网络中两个小的 Y 网络元变换成两个小的 网络元，再直接用串、并联规律求解即可。解:原网络等效为如图 16 所示的网络，由此可以算得RAB=118/93例（2）有 7 个电阻同为 R 的网络如图 17 所示，试求 A、B 间的等效电阻 RAB。图 17 图 18解：将 Y 网络 O-ABC 变换成 网络如图 18 所示其中 RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc=5RRBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra=5R/2RCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rb=5R

11、这样就是一个简单电路了，很容易算得RAB=7R/54：电桥平衡法图 19如图 19 所示的电路称为惠斯通电桥，图中 R1、R 2、R 3、R 4 分别叫电桥的臂，G 是灵敏电流计。当电桥平衡（即灵敏电流计的示数为零）的时候，我们称之为电桥平衡。这时有I1=I2, I3=I4, I1RI=I3R3, I2R2=I4R4有这些关系可以得到R1/R2=R3/R4上式称之为电桥平衡条件，利用此式简化对称性不明显的电路，十分方便。例:有 n 个接线柱，任意两个接线柱之间都接有一个电阻 R 求任意两个接线柱之间的电阻。212BA AB2548BACR25B4R3R21DACGIIIIAEDBC5图 20分

12、析：粗看本题根本无法求解，但是能充分利用电桥平衡的知识，则能十分方便得求解。解：如图 20 所示，设想本题求两接线柱 A、B 之间的等效电阻，根据对称性易知，其余的接线柱 CDE- 中，任意两个接线柱之间的电阻无电流通过，故这些电阻都可以删除，这样电路简化为:A、B 之间连有电阻 R，其余（n-2）个接线柱之间仅有电阻分别与 A、B 两点相连，它们之间没有电阻相连。即1/RAB=1/R+1/2R/(n-2)所以 RAB=2R/n二：无限电阻网络无限电阻网络分为线型无限网络和面型无限网络，下面我们就这两个方面展开讨论1：线型无限网络所谓“线型”就是一字排开的无限网络，既然研究对象是无限的，就可以

13、利用“无限”这个条件，再结合我们以上讲的求电阻的方法就可以解决这类问题。例（1）如图所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是 R，求 A、B 之间的等效电阻RAB .图 21解：因为是“无限”的，所以去掉一个单元或增加一个单元不影响等效电阻即 RAB 应该等于从 CD 往右看的电阻 RCDRAB=2R+R*RCD/(R+RCD)=RCD整理得 RCD2-2RRCD-2R2=0解得：R CD=（1+3 1/2）R= R AB例（2）一两端无穷的电路如图 22 所示，其中每个电阻均为 r 求 a、b 两点之间的电阻。图 22 图 23解：此电路属于两端无穷网络，整个电路可以看作是由三

14、个部分组成的，如图所示，则Rab=(2Rx+r)r/(2Rx+2r)即是无穷网络，bb 1 之间的电阻仍为 Rx则 Rx=（3 1/2-1）r代入上式中解得 Rab=（6-3 1/2）*r/6例（3）电阻丝无限网络如图 24 所示，每一段金属丝的电阻均为 r，求 A、B 之间的等效电阻 RAB .图 24CBDAba baxRrxBABAr32r 3r2rCDFE6图 25 图 26解:根据对称性可知，网络中背面那根无限长的电阻丝中 各点等势，故可以删去这根电阻丝，这样原网络等效为如图 25 所示的网络。又因为网络相对 AB 连线具有左右对称性，故可以折叠成如图 26 所示的网络，再利用例（1

15、）的方法可得RCD=REF=Rx即 Rx=r/2+r/2+(Rx*r/3)/(Rx+r/3)解得：R x=(3+211/2)r/6RAB=(2r*Rx/3)/(2r/3+Rx)=2(21)1/2r/212：面型无限网络解线性无限网络的指导思想是利用网络的重复性，而解面型无限网络的指导思想是利用四个方向的对称性。例（1）如图 27 所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的阻值都是 R 求相邻的两个结点 A、B 之间的等效电阻。分析：假设电流 I 从 A 点流入，向四面八方流到无穷远处，根据对称性，有 I/4 电流由 A 点流到B 点。假设电流 I 经过无限长时间稳定后再由四面八

16、方汇集到 B 点后流出，根据对称性，同样有 I/4电流经 A 点流到 B 点。图 27解:从以上分析看出，AB 段的电流便由两个 I/4 叠加而成，为 I/2 因此 UAB=(I/2)*rA、B 之间的等效电阻RAB=UAB/I=r/2例（2）有一无限平面导体网络，它有大小相同的正六边型网眼组成，如图 28 所示。所有正六边型每边的电阻均为 R0，求间位结点 a、b 间的电阻。分析：假设有电流 I 自 a 电流入，向四面八方流到无穷远处，那么必有 I/3 电流由 a 流向 c，有 I/6 电流由 c 流向 b.再假设有电流 I 由四面八方汇集 b 点流出，那么必有 I/6 电流由 f 流向 c, 有 I/3 电流由 c 流向 b.解：将以上两种情况结合，由电流叠加原理可知Iac=I/3+I/6=I/2(由 a 流向 c)Icb=I/3+I/6=I/2(由 c 流向 b)因此 ab 之间的等效电阻为Rab=Uab/I=(IacR0+IcbR0)/I=R0 图 28AB987654321abcdefg