全等三角形作辅助线经典例题.doc

1、 D CBAEDFCBA全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” ；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）5)

2、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.2：如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.3：如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.

3、ED CBA中考应用1、以 的两边 AB、 AC 为腰分别向外作等腰 Rt 和等腰 Rt ，AABDACEEDCBADCBAP21D CBAPQCBA连接 DE， M、 N 分别是 BC、 DE 的中点探究：AM 与 DE 的位90,BADCE置关系及数量关系 （1）如图 当 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 ABC，线段 AM 与 DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt 绕点A 沿逆时针方向旋转 (0AD+AE.ED CBA五、旋转1：正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.2：D 为等腰 斜边 AB 的中点

4、，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC（1）当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MN（2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。3.如图， 是边长为 3 的等边三角形， 是等腰三角形，且ABCBDC，以 D 为顶点做一个 角，使其两边分别交 AB 于点01206GA BFDECM，交 AC 于点 N，连接 MN，则 的周长为 ；AMN中考应用：1、已知四边形 中， ， ， ，： ，ABCDABCDABC120A， 绕 点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于60MN ， （1）当 绕 点旋转到 时（如图 1） ，易EF， EF证 （2）当 绕 点旋转到

5、 时，在图 2 和图 3 这两种情MN 况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， 又有怎AECF，样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明2、在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为 外一点，且ABC ABC, ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，60MDN120BM、NC 、MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系A图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 A

6、B、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，则 Q= x（用 、L 表示） x六、构造全等（图 1）ABCDEFN（图 2）ABCDEFN（图 3）BCDEFHFEG ADCBFEDCBA21 AFHDCGBEAD CBEAFD CBE例 1： 已知：如图，在 Rt ABC 中，ACB=90，AC=BC，D 为 BC 的中点，CEAD 于 E，交 AB 于 F，连接 DF求证：ADC=BDF 2如图，ABC 中，AB=AC ，过点 A 作 GEBC ，角平分线

7、 BD、CF 相交于点 H，它们的延长线分别交 GE 于点 E、 G试在图 10 中找出 3 对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明 3已知ABC，AB=AC，E 、F 分别为 AB 和 AC 延长线上的点，且 BE=CF，EF 交 BC于 G求证：EG=GF 4 已知：ABC 中，BD=CD ，12求证：AD 平分BAC说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等（2）利用角的平分线构造全等三角形：过角平分线上一点作两边的垂线段练习：如图 22，ABCD，E 为 AD 上一点，且 BE、C

8、E 分别平分ABC、BCD 求证：AE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形例： 如图，在ABC 中，AD 平分BAC，C=2B求证：AB=AC+CD 分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在 AB 上截取 AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段 AB 分成 AE 和 BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例： 如图，在ABC 中，AD 平分BAC，CEAD 于 E求证：ACE=B+ECD分析：注意到 AD 平分BAC，CEAD，于是可延长 CE 交 AB 于点 F，即可构造全等三CFEBADQP CBACBA

9、D CBA DCEBAD角形（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图，在ABC 中，AD 平分BAC，过点 D 作 DEAB，DE 交 AC 于点 E易证AED 是等腰三角形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 例 如图，在ABC 中，AB=AC ，BD 平分ABC，DEBD 于 D，交 BC 于点 E求证：CD= BE21练习：1如图，在ABC 中，B=90，AD 为BAC 的平分线，DFAC 于 F，DE=DC求证：BE=CF 2已知：如图，AD 是ABC 的中线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且 BE=CF求证：（1）AD 是BAC 的平分线；（2）AB=

10、AC 3在ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P， BQ 平分ABC 交 AC 于 Q求证：AB+BP=BQ+AQ 4如图，在ABC 中，AD 平分BAC，AB=AC+CD求证：C=2B 5已知，E 为ABC 的A 的平分线AD 上一点，ABAC求证：AB-ACEB-EC 6如图，在四边形 ABCD 中，BCBA，AD=CD，BD 平分ABC 求证：A+C=1804321CEBAD FCEBADC E BADCBADACB DACFEBMD7如图所示，已知 ADBC，1=2，3=4，直线 DC 过点 E 作交 AD 于点 D，交BC 于点 C求证：AD+BC=A

11、B 8已知，如图，ABC 中，ABC=90，AB=BC，AE 是A 的平分线，CDAE 于 D求证：CD= AE 219ABC 中，AB=AC，A=100，BD 是B 的平分线求证：AD+BD=BC 10如图 36，B 和C 的平分线相交于点 F，过点 F 作 DE BC 交 AB 于点 D，交 AC 于点E，若 BD+CE=9，则线段 DE 的长为（ ）A9 B8 C7 D6 11如图，ABC 中，AD 平分BAC，AD 交 BC 于点 D，且 D 是 BC 的中点求证：AB=AC 12已知：如图，ABC 中，AD 是BAC的平分线，E 是 BC 的中点， EFAD，交 AB 于 M，交 C

12、A 的延长线于 F求证：BM=CF 1.如图，在 RtABC 中，AB=AC，D、E 是斜边 BC 上两点，且DAE=45 0，将ADC 绕点 A 顺时针旋转 900后，得到AFB，连接，下列结论：（）；（）；（）；（） 其中正确的是（ ）A （2） （4） B （1）(4) C(2) (3) D(1) (3)2.在 ABC 中， AB6， AC8， BC10， P 为边 BC 上一动点， PE AB 于 E， PF AC于 F， M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为 3.如图，在等腰梯形 ABCD 中，C=60，ADBC，且 AD=DC，E、F 分别在 AD、DC 的延长线上，且 DE=

13、CF，AF、BE 交于点 P .（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测BPF 的度数，并证明你的结论 .4.已知：如图，在ABC 中，ACB= 90， CDAB于点 D,点 E 在 AC上，CE=BC,过 E 点作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F .求证：AB=FC5如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，BF 是ABC 的平分线，AFDC，连接 AC、CF，求证：CA 是DCF 的平分线.6.如图，在正方形 ABCD 中，点 E、 F 分别在 BC、 CD 上移动，但 A 到 EF 的距离 AH 始终保持与 AB 长相等，问在 E、 F移动过程中：(1)求证：EAF = 45o

14、; (2) ECF 的周长是否有变化？请说明理由.7.如图，ABC 中，ABC=BAC=45，点 P 在 AB 上，ADCP，BECP，垂足分别为 D、E，已知 DC=2，求 BE 的长。EDCBA 8如图，在矩形 ABCD 中，AE 平分DAB 交 DC 于点 E，连接 BE，过 E 作 EFBE 交 AD 于 E.(1)DEF 和CBE 相等吗？请说明理由；来源:学。科。网(2)请找出图中与 EB 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.9.将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上。 （1）求证：ABED。 （2）若 PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。10.如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90 0，D 为 AB 边上一点。求证：（1）ACEBCD； （2） 22ADB。11已知:PA= ,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两2点落在直线 AB 的两侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB 的大小.A BCD EF