数列分组求和法.doc

1、分组求和法典题导入例 1 (2011山东高考 )等比数列a n中，a 1，a 2，a 3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a 2，a 3 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行 9 8 18(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足：b na n( 1) nln an，求数列 bn的前 2n 项和 S2n.自主解答 (1) 当 a13 时，不合题意；当 a12 时，当且仅当 a26，a 318 时，符合题意；当 a110 时，不合题意因此 a12，a 26，a 318.所以公比 q3，故 an23 n1 .

2、 (2)因为 bna n(1) nln an 23n1 (1) nln(23n1 )23 n1 ( 1) n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以 S2nb 1b 2b 2n2(133 2n1 )1 11(1) 2n(ln 2ln 3) 123 (1) 2n2nln 32 nln 33 2nnln 31.1 32n1 3由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)若 anb ncn，且b n，c n为等差或等比数列，可采用分组求和法求a n的前 n 项和(2)通项公式为 anError!的数列，其中数列 bn， cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和以题试法1(2013威海模拟)已知数

3、列 xn的首项 x13，通项 xn2 npnq(nN *，p，q 为常数)，且 x1，x 4，x 5 成等差数列求：(1)p，q 的值；(2)数列x n前 n 项和 Sn 的公式解：(1)由 x13，得 2pq3，又因为 x42 4p4q，x52 5p5q，且 x1x 52x 4，得 32 5p5q2 5p8q，解得 p1，q1.(2)由(1)，知 xn2 nn，所以 Sn(2 2 22 n)(12n)2 n1 2 .nn 122.数列 1 ，3 ，5 ，7 ，的前 n 项和 Sn为( )12 14 18 116A n21 B n2212n 1 12nC n21 D n2212n 12n 1解

4、析 由题意知已知数列的通项为 an2 n1 ，12n则 Sn n21 .n 1 2n 1212(1 12n)1 12 12n答案 C3.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a35， S15225.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn2 an2 n，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解析：(1)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，由题意，得Error!解得Error! an2 n1.(2) bn2 an2 n 4n2 n，12 Tn b1 b2 bn (44 24 n)2(12 n)12 n2 n 4n n2 n .4n 1 46 23 234.设 an是公比为正数的等

5、比数列， a12， a3 a24.(1)求 an的通项公式；(2)设 bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 an bn的前 n 项和 Sn.解析 (1)设 q 为等比数列 an的公比，则由 a12， a3 a24 得 2q22 q4，即 q2 q20，解得 q2 或 q1(舍去)，因此 q2.所以 an的通项为 an22 n1 2 n(nN *)(2)Sn n1 22 n1 n22.2 1 2n1 2 n n 125.求和 Sn1 .(1 12) (1 12 14) (1 12 14 12n 1)解 和式中第 k 项为ak1 2 .12 14 12k 11 (12)k1 12 (1

6、 12k)S n2 (1 12) (1 122) (1 12n)2(111 ( )n个 12 122 12n2 2n2.(n12(1 12n)1 12 ) 12n 16.数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，a 22，a n2 a n1 (1) n (nN *)，则S100_.答案 2 600解析 由 an2 a n1(1) n知 a2k2 a 2k2，a2k1 a2k1 0，a 1a 3 a5a 2n1 1，数列a 2k是等差数列，a 2k2k.S 100(a 1a 3a 5a 99)(a 2a 4a 6a 100)50(246100)50 2 600.100 25027.求和：(1)

7、S n ；32 94 258 6516 n2n 12n(2)Sn 2 2 2.(x 1x) (x2 1x2) (xn 1xn)解 (1)由于 an n ，n2n 12n 12nS n (1 121) (2 122) (3 123) (n 12n)(123n) (12 122 123 12n) 1.nn 1212(1 12n)1 12 nn 12 12n(2)当 x1 时，S n4n.当 x 1 时，Sn 2 2 2(x 1x) (x2 1x2) (xn 1xn) (x2 2 1x2) (x4 2 1x4) (x2n 2 1x2n)(x 2 x4x 2n)2n (1x2 1x4 1x2n) 2n

8、x2x2n 1x2 1 x 21 x 2n1 x 2 2n.x2n 1x2n 2 1x2nx2 1S nError!8.已知数列a n中，a 160，a n1 a n3，则这个数列前 30 项的绝对值的和是_答案 765解析 由题意知a n是等差数列，a n603(n1) 3n63，令 an0，解得 n21.|a 1| |a2| a3|a 30|(a 1a 2a 20)( a21a 30)S 302S 20 ( 606063)20765. 60 90 633029.数列a n的前 n 项和 Snn 24n2，则|a 1|a 2|a 10|_.答案 66解析 当 n1 时，a 1S 11.当 n

9、2 时，a nS nS n1 2n5.a nError!.令 2n50，得 n ，52当 n2 时，a n0，|a 1| |a2| | a10|(a 1a 2)(a 3a 4a 10)S 102S 266.10.数列a n的通项公式为 an(1) n1 (4n3)，则它的前 100 项之和 S100 等于( )A200 B200 C400 D400答案 B解析 S 100(413)(4 23) (433)(4 1003)4(1 2)(34)(99 100)4(50)200.11.(2012课标全国)数列a n满足 an1 (1) nan2n1，则a n的前 60 项和为_答案 1 830解析

10、a n1 (1) nan2n1，a 21a 1，a 32a 1，a 47a 1，a 5a 1，a 69a 1，a 72a 1，a 815a 1，a 9a 1，a 1017a 1，a 112a 1，a 1223a 1，a 57a 1，a 58113a 1，a 592a 1，a 60119a 1，a 1a 2a 60(a 1a 2 a3a 4)(a 5a 6a 7a 8)( a57a 58a 59a 60)102642234 1 830.1510 234212.已知数列 2 008,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2

11、 013 项之和 S2 013 等于 ( )A1 B2 010 C4 018 D0答案 C解析 由已知得 ana n1 a n1 (n2) ，a n1 a na n 1.故数列的前 8 项依次为 2 008,2 009,1，2 008，2 009，1，2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为 6，且 S60.2 01363353，S 2 013S 34 018.13.设 ，利用课本中推导等差数列前 项和公式的方法，可求2)(xf n的值为)0(45fff )6(5.fA B C D2322解：由于 ，则原式)1()xf )5(4)6(51ffff ，选 A56f 23214.数列

12、 的前 项和为 ，满足： ， ，其中 ，nanS1atStnn3)(10t且 （）求证：数列 是等比数列；N2n（）设数列 的公比为 ，数列 满足 求 的通项na)(tfnb11,()2,nbfnb式.（）记 求证：,122154321 nnnbT .90nT解（）当 时， , tSttnn)(1tStS3)(3得： （ ）0)32(1nnatta123ntan又 ，解得： , 1121,3ttt t2naa21 3t是首项为 1，公比为 的等比数列。n2t（） , 323,32)( 111nnnbbtf则,1nb)(（） )()( 12253432 nnn bT 92054,32, )3(9

13、46)1)(4 22 nTn nb为 增时当 15. 的值是2197810A2525 B5050 C10100 D20200解：原式 ，选 B50)2()()( 16.等差数列a n的公差不为零，a 47，a 1，a 2，a 5 成等比数列，数列 Tn满足条件Tna 2a 4a 8 ，则 Tn_.n2解析：设a n的公差为 d0，由 a1，a 2，a 5成等比数列，得 a a 1a5，2即(72d) 2(73d)(7 d) d2 或 d0(舍去) an7( n4)22n1. 又 22 n12 n1 1，n2aTn(2 21)(2 31) (2 41) (2 n1 1)(2 22 32 n1 )n2 n2 n4.