高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法.doc

1、函数的定义域与值域的常用方法（一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是 yf（x） ，不能把它写成 f（x，y）0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出 y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数 fg（x） 的表达式

2、，求 f（x）的表达式时可以令 tg（x） ，以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出 f（x）和 f（x） ，或 f（x）和 f（1/x）的一个方程，则可以 x 代换x（或 1/x） ，构造出另一个方程，解此方程组，消去 f（x） （或 f（1/x） ）即可求出 f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出 y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变

3、量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数 yfg（x） 的定义域的求解，应先由 yf （u）求出 u 的范围，即 g（x）的范围，再从中解出 x 的范围 I1；再由 g（ x）求出 yg（x）的定义域 I2，I 1 和 I2 的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需

4、要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数 f：AB 中，集合 B 未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为 C，则 C 是 B 的子集；若C B，那么该函数作为映射我们称为“满射” ；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；（四）求函数

5、的最值1、设函数 yf（x）定义域为 A，则当 xA 时总有 f（x）f（x o）M，则称当 xx o 时 f（x）取最大值M；当 xA 时总有 f（x）f（x 1）N，则称当 xx 1 时 f（x）取最小值 N；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。【典型例题】考点一：求函数解析式1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。例 1. 已知函数 yf（x）满足 xy0，4x 29y 236，求该函数解析式。解：由 4x29y 236 可解得： 229,393,xxy 。说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成293xy的形式。2

6、、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。例 2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量 y 与该段河流的平均深度 x 成反比，又测得该段河流某段平均水深为 2m 时，水流量为 340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。解：设kyx，代入 x，y 的值可求得反比例系数 k780m 3/s，故所求函数关系式为780,yx。3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例 3. 已知21()xxf，试求 ()fx。解：设t，则 t，代入条件式可得：2()1ftt，t1。故得：2()1,fx

7、x。说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例 4. （1）已知21()345fxfx，试求 ()fx；（2）已知 2，试求 ；解：（1）由条件式，以1x代 x，则得 211()345ffxx，与条件式联立，消去1fx，则得：2284533fx。（2）由条件式，以x 代 x 则得：2()(345fxfx，与条件式联立，消去 fx，则得：543f。说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。5、实际问题中的函数解析式：

8、这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。例 5. 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 B 出发，顺次经过 C、D 再到 A 停止。设 x 表示 P 行驶的路程，y 表示 PA 的长，求 y 关于 x 的函数。解：由题意知：当 x0，1时：yx；当 x（1，2）时：2；当 x（2，3）时： 31yx；故综上所述，有 2,0,1(23,3yxx 考点二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例 6. 求

9、324xy的定义域。解：由题意知：0x，从而解得：x2 且 x 4.故所求定义域为：x|x2 且 x4 。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例 7. 已知函数由下表给出，求其定义域X 1 2 3 4 5 6Y 22 3 14 35 6 17解：1，2，3，4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数 f（u）的定义域可以确定内函数 g（x）的范围，从而解得xI 1，又由 g（x）定义域可以解得 xI 2.则 I1I 2 即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。 2()3,(),()43fgyfgxx例 8 已 知 求 的 定 义 域 .解： 2fx由 又由于

10、 x24x30 *联立*、*两式可解得：939314493|14xx或故 所 求 定 义 域 为 或例 9. 若函数 f（2 x）的定义域是 1，1 ，求 f（log 2x）的定义域。解：由 f（2 x）的定义域是 1，1可知：2 1 2x2，所以 f（x）的定义域为2 1 ，2 ，故log2x2 1 ，2 ，解得 4，故定义域为 ,4。4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。例 10. 求函数 ()1fxa的定义域。解：若 0a，则 xR ；若 ，则1；若 0a，则xa；故所求函数的定义域：当 时为 R，当 0时为1|xa，当 0时为1|

11、xa。说明：此处求定义域是对参变量 a 进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据 a 的不同取值范围分别论述。考点三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例 11. 求函数231xy的值域。解：12xx，因为01x，故 y2，所以值域为y|y2。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量 x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例 12. 求函数 y2x 24x 的值域。解：y2x 24x2（x 22x1）22（

12、x1） 222，故值域为y|y2。说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如 yaf 2（x）bf （x） c。3、判别式法例 13. 求函数23456xy的值域。解：2x可变形为：（4y1）x 2（5y2）x6y30，由 0 可解得：636,71y。说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所

13、以将原函数变形为一个关于 x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故 0。4、单调性法例 14. 求函数23yx，x4，5的值域。解：由于函数 为增函数，故当 x4 时，y min 25；当 x5 时，y max 513，所以函数的值域为513,2。5、换元法例 15. 求函数 241yx的值域。解：令 0t，则 y2t 24t2（t1） 24，t0 ，故所求值域为y|y4。6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。例 16. 求函数2,1(,34xy的值域。解：当 x1，2时，y1，2 ；当 x (2，3时，y (4，9 ；当 x (3，4时，y (5，7 。综上所述，y1

14、，2 (3，9 。7、图像法：例 17 设 f(x) 若 f(g(x)的值域是0 ，)，则函数 yg(x)的值域是 ( )2,1A.(， 11，) B.(，10 ，)C.0，) D.1，)解析：如图为 f(x)的图象，由图象知 f(x)的值域为( 1，)，若 f(g(x)的值域是 0，)，只需 g(x)(，10 ，).故选 B.8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例 18 求函数 的值域。12xy解：由 解得 ，12x1xy ， ， 0x0y1函数 的值域为 。12x(,)9、有界性求法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例 19：求函数 的值域。21xy解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 ，对函数进行变形可得 ，R2(1)()yxy ， （ ， ） ，1y21yxx1y ， ，0y函数 的值域为21x|1y