圆锥曲线大题练习1.doc

1、1.已知动直线 与椭圆 C: 交于 P 、Q 两不同点，且OPQ 的l213xy1,xy2,面积 = ,其中 O为坐标原点 .OPQS62（）证明 和 均为定值;1x21y（）设线段 PQ的中点为 M，求 的最大值；|PQ（）椭圆 C上是否存在点 D,E,G，使得 ?若存在，判断62ODEGOESSDEG的形状；若不存在，请说明理由.2.如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在x轴上，椭圆 C2的短轴为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线lMN，l 与 C1交于两点，与 C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D.（I）设 ，求 与 的比值；1

2、2eD（II）当 e变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由3.设 ，点 的坐标为（1,1） ，点 在抛物线AB上运动，点 满足 ，经过 点与 轴yxQAQx垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足 ,求MPMP点 的轨迹方程。P4.在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3上，M 点满足 MB/OA， MAAB = MBBA，M 点的轨迹为曲线 C。（）求 C的方程；（）P 为 C上的动点，l 为 C在 P点处得切线，求 O点到 l距离的最小值。5.在平面直角坐标系 中，点 为动点， 分别为椭圆xOy(,)ab0)12,F的左右焦点已知 为等腰三角形

3、21xyab12FP（）求椭圆的离心率 ；e（）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足 ，2PF,ABM2PF2AMB求点 的轨迹方程M6.已知抛物线 : ，圆 : 的圆心为点 M1C2xy22(4)1xy（）求点 M到抛物线 的准线的距离；1c（）已知点 P是抛物线 上一点（异于原点） ，过点 P作圆 的两条2c切线，交抛物线 于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 垂直于 AB，求1c l直线 的方程l7.如图 7，椭圆 的离心率为 ， 轴被曲线)0(1:21bayxC23x截得的线段长等于 的长半轴长.by22: 1C求 ， 的方程；12设 与 轴的交点为 ，过坐标原点

4、的直CyMO线 与 相交于点 ， ，直线 ， 分别l2ABB与 相交于点 ， .1DE()证明： ;()记 , 的面积分别为 ，问：MAB21,S是否存在直线 ，使得 ？请说明理由.l3721S1.已知动直线 与椭圆 C: 交于 P 、Q 两不同点，且OPQ 的l213xy1,xy2,面积 = ,其中 O为坐标原点 .OPQS62（）证明 和 均为定值;1x21y（）设线段 PQ的中点为 M，求 的最大值；|PQ（）椭圆 C上是否存在点 D,E,G，使得 ?若存在，判断62ODEGOESSDEG的形状；若不存在，请说明理由.【解析】 （I）解：（1）当直线 的斜率不存在时，P，Q 两点关于 x

5、轴对称，l所以 因为 在椭圆上，因此 21,.xy1(,)xy213y又因为 所以 ；由、得6,OPQS16|.2116|,|.2x此时 22113,xy（2）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为l l,ykxm由题意知 m ，将其代入 ，得 ，0213xy22(3)63()0其中 即 （*）22361()0,kkm22k又 12122,3xx所以222221163| ()4,kmPQkx因为点 O到直线 的距离为 所以l2|,mdk1|OPQSd，又22 2163|1k 226|3k,OPQS整理得 且符合（*）式，223,km此时222211163()()(),kmxx k222211

6、13(4.3y x综上所述， 结论成立。22;,xy（II）解法一：（1）当直线 的斜率存在时，由（I）知l 116|,|2|,OMxPQy因此 6|2.OMPQ（2）当直线 的斜率存在时，由（I）知l 123,xkm2112 22 21 22223() ,9161|() (3),4443()|(1) ,()yxkkmyOMkPQm所以 222211|()()m221(3)22135()4m所以 ，当且仅当 时，等号成立.|2OMPQ2213,m即综合（1） （2）得|OM|PQ|的最大值为 5.解法二：因为 22222211114|()()()()xyxy1212()0.xy所以224|10

7、| 5.OMPQP即 当且仅当 时等号成立。5|,2OMPQ|5OMPQ因此 |OM|PQ|的最大值为 .（III）椭圆 C上不存在三点 D，E，G，使得 6.2ODEGOESS证明：假设存在 ，12(,),)(,)EDEGuvxy满 足由（I）得 222222111112 123,3;,;.5, , ,uxvvyyvyx解 得因 此 只 能 从 中 选 取 只 能 从 中 选 取因此 D，E，G 只能在 这四点中选取三个不同点，6(,)而这三点的两两连线中必有一条过原点，与 矛盾，62ODEGOESS所以椭圆 C上不存在满足条件的三点 D，E，G.2.如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O，长

8、轴左、右端点 M，N 在 x轴上，椭圆 C2的短轴为MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线 lMN，l 与 C1交于两点，与 C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D.（I）设 ，求 与 的比值；12eD（II）当 e变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由解：（I）因为 C1，C 2的离心率相同，故依题意可设2214:,:1,(0)xybyxabaa设直线 ，分别与 C1，C 2的方程联立，求得:(|)lt4分22(,.bAtBtba当 表示 A，B 的纵坐标，可知13,Aey时 分 别 用6分2|3|:| .4BAybBCDa（II）t=0 时的 l不符

9、合题意. 时，BO/AN 当且仅当 BO的斜率 kBO与 AN的斜率 kAN0t相等，即 22,battba解得221.et因为2|,0,1,1.taee又 所 以 解 得所以当 时，不存在直线 l，使得 BO/AN；2e当 时，存在直线 l使得 BO/AN.13.设 ，点 的坐标为（1,1） ，点 在抛物线 上运动，点 满足 ，AByxQAB经过 点与 轴垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足 ,求点 的轨迹方程。QxMPMP【命题意图】：本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。【解析】：由

10、知 Q,M,P三点在同一条垂直于 x轴的直线上，故可设QMPur， ， ，则 ，即(,)Pxy(,)(,)x()yyx再设 ,由 ，即 ，解得()BxyQAur(,)(,)xyxy()将代入式，消去 得y()()xyx又点 B在抛物线 上，所以 ，再将式代入得yyx，即()()()x，即()yxx，因为 ，等式两边同时约去()()()x得 ()y这就是所求的点 的轨迹方程。P【解题指导】：向量与解析几何相结合时，关键是找到表示向量的各点坐标，然后利用相关点代入法或根与系数关系解决问题，此外解析几何中的代数式计算量都是很大的，计算时应细致加耐心。4.在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0,-

11、1)，B 点在直线 y = -3上，M 点满足 MB/OA， MAAB = MBBA，M 点的轨迹为曲线 C。（）求 C的方程；（）P 为 C上的动点，l 为 C在 P点处得切线，求 O点到 l距离的最小值。解析; ()设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MAur=（-x,-1-y）, Bur=(0,-3-y), Aur=(x,-2).再由题意可知（r+ ） =0, 即（-x,-4-2y） (x,-2)=0.所以曲线 C的方程式为 y= 14x2-2.()设 P(x0,y )为曲线 C： y= 14x2-2上一点，因为 y= 12x,所以 l的斜率为 12x0因此

12、直线 l的方程为 00()y，即 200xx。则 o点到 l的距离20|4xd.又 21y，所以22020014(),xx当 20x=0时取等号，所以 o点到 l距离的最小值为 2.点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。5.在平面直角坐标系 中，点 为动点， 分别为椭圆xOy(,)Pab0)12,F的左右焦点已知 为等腰三角形21xyab12F（）求椭圆的离心率 ；e（）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足 ，2PF,ABM2PF2AMB求点 的轨迹方程M解：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方

13、程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分 13分.（I）解：设 12(,0)(,0)Fcc由题意，可得 1|P即 2().acb整理得 （舍） ，0,ca得或 所以1.2a.e（）解:由（）知 ,可得椭圆方程为 .直线 方程为2,3cb22341xyc2PF,A,B两点的坐标满足方程组 ,消去 y并整理,得3()yxc22341()xyc,解得2580,得方程组的解 , ,不妨设 ,12,cx103xyc2185xyc83(,)5cA,(0,3)Bc设点 的坐标为 ,则 , .由M()xy83(,)5cAMxy(,3)BMx

14、yc得3(yc,于是 ,由 ，x833(,),(3)155yxxx2ABM即,化简得 ,将8383()()2155yyxx21863150xy代入26,得 ,所以 ,3cxy21056xc0x因此,点 的轨迹方程是 .M28315()y6.已知抛物线 : ，圆 : 的圆心为点 M（）求点 M到抛物线1C2xy22(4)x的准线的距离；1c（）已知点 P是抛物线 上一点（异于原点） ，过点 P作圆 的两条切1c2c线，交抛物线 于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 垂直于 AB，求直1 l线 的方程l【解析】 （）由 得准线方程为 ，由 得 M2xy14y22(4)1xy，点 M到抛物线

15、的准线的距离为(0,4)1c174()（）设点 ， ， 由题意得 设过点20(,)Px21(,)Ax2,Bx0,1,x2x的圆 的切线方程为 即 则2C200yk20yk002|4|k即 设 ， 的斜率为 （ ）22000(1)(4)(4)1xkxxPAB1,k则 是上述方2,程的两个不相等的根， 将代入 得2012(),1xk20(4)1xk2yx由于 是方程的根故 ， 所以220xkx01020k，1212AB， 由 得012 02(4)xkx204MPkxAB解得 点 的坐标为2002()()11ABMPx 2035P23(,)5直线 的方程为 .l354yx7. 是双曲线 E： 上一点，M，N 分别是双曲线0(,)Pxa21(0,)yabE的左、右顶点，直线 PM，PN 的斜率之积为 5（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线 E的右焦点且斜率为 1的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足 ，求 的值OCAB解：（1）已知双曲线 E： ， 在双曲线上，M，N 分别为0,12bayx0,yxP双曲线 E的左右顶点，所以 ， ，直线 PM，PN 斜率之积为0,M,N