圆锥曲线大题20道(含答案).doc

1、 1 / 141.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为（2，0） ，右顶点为 )0,3(（1）求双曲 线 C 的方程；（2）若直线 :kxyl与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 2O（其中 O 为原点）. 求 k 的取值范围 .解：（）设双曲线方程为 12bya ).0,(ba由已知得 .,32ca得再 由故双曲线 C 的方程为 .12yx（）将 得代 入 32ky .0926)3(2kxk由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 .)1(3)1()6(,01222k即 .1322k且 设 ,),(BAyx，则 ,22,39,622 BABABA yxOkxx 得由而 )()1()

2、( BB xkkxy.37216319)(22 kk于是 解 此 不 等 式 得即 ,09,722.31k由、得 .12k故 k 的取值范围为 ).,3(),(2.已知椭圆 C： 2ax by1（ab0）的左右焦点为 F1、F 2，离心率为 e. 直线l：yexa 与 x 轴y 轴分别交于点 A、B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点 F1 关于直线 l 的对称2 / 14点，设 AM B.（）证明：1e 2；（）确定 的值，使得PF 1F2 是等腰三角形.来源:Zxxk.Com（）证法一：因为 A、B 分别是直线 l： aexy与 x 轴、y 轴的交点，所以 A、B 的坐标分

3、别是222.,1).,0( bcbbyaxeea这 里得由.所以点 M 的坐标是（ c,）. 由 ).,(),(2aeaABM得即 22 1eabec解 得证法二：因为 A、B 分别是直线 l： axy与 x 轴、y 轴的交点， 所以 A、B 的坐标分别是).,0(ae设 M 的坐标是 0(,)0,xye由 得所以 .)1(0ay因为点 M 在椭圆上，所以 ,120byax即 .)(,1)()1( 2222 ebae 所 以来源 :学科网 ZXXK,0(4 解得 .122ee即（）解法一：因为 PF1l ，所以PF 1F2=90+BAF 1 为钝角，要使PF 1F2 为等腰三角形，必有|PF1

4、|=|F1F2|，即 .|cP设点 F1 到 l 的距离为 d，由 ,1|10)(| 22ceae3 / 14得 .12e 所以 .321,3e于 是即当 时PF 1F2为等腰三角形.解法二：因为 PF1l，所以 PF1F2=90+BAF 1 为钝角，要使PF 1F2 为等腰三角形，必有|PF 1|=|F1F 2|，设点 P 的坐标是 ),(0yx，则00.2yxcea，2023,1().excay解 得由|PF 1|=|F1F2|得 ,41)()3( 2222 cece两边同时除以 4a2，化简得 .)(2 从而 .312e于是 2 奎 屯王 新 敞新 疆 即当 时，PF 1F2 为等腰三角

5、形.来源:Z,xx,k.Com3.设 Ryx,， ji、为直角坐标平面内 x轴、 y轴正方向上的单位向量，若jyixbia )3( ,)3(，且 4ba.（）求点 yP的轨迹 C 的方程；来源:学#科#网（）若 A、B 为轨迹 C 上 的两点，满足 MBA，其中 M（0， 3） ，求线段 AB 的长. 来源:学+科+网启思4.已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，O与 )1,3(a共线 .（）求椭 圆的离心率；（）设 M 为椭圆上任意一点，且 ),( ROBAM，证明 2为定值.解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几

6、何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分 12 分.4 / 14（1）解：设椭圆方程为 )0,(12cFbayx则直线 AB 的方程为 c，代入 12yx，化简得02)( 222baxaba.令 A（ 1,yx） ，B 2,(） ，则 .,22121 bacxx由 OBAyxO),3(), 与 共线，得0)()(32121y又 cxyc21， .3,xcx即 22ba，所以 6.322 abcba，故离心率 .6ce（II）证明：（1）知 23ba，所以椭圆 12byax可化为 .322byx设 ),(yxOM，由已知得 ),(),(),(21yx.21,在椭圆上，

7、.3)(3221byx即 .)(2)3()3( 21212 byyxyx 由（1）知 .,221 cbac变式新题型 3 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，准线 l 与 x 轴相交于点 A(1，0)，过点 A 的直线与抛物线相交于 P、Q 两点.来源:学科网（1）求抛物线的方程；（2）若 FP Q=0，求直线 PQ 的方程；来源:学科网（3）设 A= （1） ，点 P 关于 x 轴的对称点为 M，证明： F=- Q.来源:Zxxk.Com.6.已知在平面直角坐标系 中，向量 ，且 .xoy 32),10(的 面 积 为OPj 3,OPtMOPj5 / 14（I）设 的取值范围；43,tOF

8、P求 向 量 与 的 夹 角（II）设以原点 O 为中心，对称轴在坐标轴上，以 F 为右焦点的椭圆经过点 M，且取最小值时，求椭圆的方程.|,)1(,| 2ctcF当7.已知 ，点 在 轴上，点 在 轴的正半轴，点 在直线 上，且满足， ，(0,2)MAxByPABAPB.AP（）当点 在 轴上移动时，求动点 的轨迹 方程；PC（）过 的直线 与轨迹 交于 、 两点，又过 、 作轨迹 的切线 、 ，当 ，求直线(2,0)lEFEFC1l212l的方程.l8. 已知点 C 为圆 的圆心，点 A（1，0） ，P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且8)1(2yx.,0AMPMQ（）当点

9、P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程；（）若直线 与（）中所求点 Q2ky的轨迹交于不同两点 F，H， O 是坐标原点，且 ，求FOH 的面积4332O已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 、 、 三点E2,0A,B31,2C（）求椭圆 的方程；（）若直线 ： （ ）与椭圆 交于 、 两点，证明直线 与直线 的交点在l1ykx0EMNAMBN直线 上4x10如图,过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于 A、B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点。()设点 P 分有向线段 所成的比为 ，证明AB);Q(P6 / 14()设直线 AB

10、的方程是 x2y+12=0,过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆 C 的方程。10. 已知平面上一定点 和一定直线 为该平面上一动点，作 垂足为 ，(1,0)C:4.lx,PQl.0)2()2(PQCP(1) 问点在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2) 点是坐标原点， 两点在点的轨迹上，若 求 的取值范围AB、 1OABC（ ） ， 11. 如图，已知 E、F 为平面上的两个定点 ， ，且 ， 6|EF0|GEGH2P， （G 为动点，P 是 HP 和 GF 的交点）0E（1）建立适当的平面直角坐标系求出点 的轨迹方程；P（2）若点 的轨迹上存在两个不同的点 、 ，

11、且线段 的中垂线与ABAF（或 的延长线）相交于一点 ，则 （ 为 的中点） C|O5912已知动圆过定点 ，且与直线 相切.1,01x(1) 求动圆的圆心轨迹 的方程；C(2) 是否存在直线 ，使 过点（0，1） ，并与轨迹 交于 两点，且满足 ？若存在，求出l C,PQ0OPQ直线 的方程；若不存在，说明理由.l13已知 若动点 P 满足)0,1(,4NM|6NPM（1）求动点 P 的轨迹方 C 的方程；（2）设 Q 是曲线 C 上任意一点，求 Q 到直线 的距离的最小值.012:yxlG FPH E7 / 1419如图，直角梯形 ABCD 中， ，ADBC，AB=2，AD= ，BC=90

12、DAB231椭圆 F 以 A、B 为焦点且过点 D， （）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；（）若点 E 满足 ,是否存在斜率ABC21两点，且与的 直 线 lk0M、F交 于椭 圆 N，若存在，求 K 的取值范围；若不存在，说明理由。|NM解（1）已知双曲线实半轴 a1=4，虚半轴 b1=2 ，半焦距 c1= ，5620椭圆的长半轴 a2=c1=6，椭圆的半焦距 c2=a1=4，椭圆的短半轴 = ，b4所求的椭圆方程为 36x02y（2）由已知 , ，设点 P 的坐标为 ，则)(A4(F),(yx由已知得),Pyx221360()4则 ，解之得 ， 892x623x或由于 y0，所以只能取

13、 ，于是 ，所以点 P 的坐标为 9 分x5y 325,（3）直线 ，设点 M 是 ，则点 M 到直线 AP 的距离是 ，于是063:yAP)0,(m6m， 62m又点 M 在椭圆的长轴上，即 62当 时，椭圆上的点到 的距离)0,2(2222549()4()15xdxyx又 当 时，d 取最小值 692解：（1）由 ，34sin|cos,in3|,sin|213 tFPOFPOFP 由得得 3 分.4tan夹角 的取值范围是（ ）,03tan13 3,4CBDA8 / 146 分（2） ).0,(),(),(00 cOFycxFPyx则设2000, 31314|232OFP txcSyc 8

14、 分10 分22204| ()26xc当且仅当 )32,(,|,3 OPOP此 时取 最 小 值时即 ),2(10),2(OM或 12 分3椭圆长轴12,48)03()2()0()2( 22 baa或 217,711 b故所求椭圆方程为 .或 14 分26yx2792yx解： （） 0，则 x1x2y 1y20， 1 分OP OQ 又 P、Q 在抛物线上，y122px 1，y 222px 2， y 1y20， y1y2 4p2 ，y122py222p |y1y2|4p 2， 3 分又|y 1y2|4，4p 24，p=1 4 分（）设 E(a,0） ，直线 PQ 方程为 xmya , 联立方程组

15、 , 5 分x my ay2 2px)消去 x 得 y22pmy2pa 0 , 6 分 y1y22pa , 7 分设 F(b,0)，R(x 3,y3)，同理可知：y1y32pb , 8 分由 、可得 , 9 分y3y2 ba若 3 ，设 T(c,0)，则有TR TQ 9 / 14(x3c,y 30)3(x 2c,y 20), y3 3y2 即 3, 10 分y3y2将 代入 ，得 b3a 11 分又由（）知， 0 ,OP OQ y1y24p 2，代入，得2pa4 p 2 a 2p, 13 分 b 6p,故，在 x 轴上，存在异于 E 的一点 F(6p,0)，使得 3 14 分TR TQ 注：若

16、设直线 PQ 的方程为 ykxb，不影响解答结果（）解：设 则P(,)x.2 分(Ay(,)By由 得 ， .4 分B2Ax又 即 ， 6 分(,)AM(,)Py(2,)MAx(,)Pxy由 得 .8 分020x（）设 ，1(,)Ey2(,)Fy因为 ，故两切线的斜率分别为 、 10 分x1x2由方程组 得 .122()yk240k12xk124xk当 时， ， ，所以 12l12x8所以，直线 的方程是 ()yx解：() 轴， ,由椭圆的定义得： ，-2 分2MFx21|F1|2MFa ， ，-4 分1|()4c2()4ac又 得 32e2223,0a2 ，-6 分214bac10 / 14

17、所求椭圆 C 的方程为 -7 分214xy()由（）知点 A(2,0)，点 B 为（0，1） ，设点 P 的坐标为 (,)xy则 ， ,(2,)PAxy(2)A由 4 得 ，Bm 4xym点 P 的轨迹方程为 -9 分y设点 B 关于 P 的轨迹的对称点为 ，则由轴对称的性质可得： ，0(,)Bxy0001,2yyxmx解得： ，-11 分00423,55mxy点 在椭圆上， ，整理得 解得 或 (,)y2243()()45m230m132点 P 的轨迹方程为 或 ，-13 分21xyx经检验 和 都符合题设，yx3y满足条件的点 P 的轨迹方程为 或 -x32yx解()依题意,可设直线 AB 的方程为 ,代入抛物线方程 得mkyx42.042mkx设 A、B 两点的坐标分别是（x 1,y1） 、(x 2,y2),则 x1、x 2 是方程 的两根。所以 .21由点 P（0，m）分有向线段 所成的比为 ，AB得 ， 即12x.21x又点 Q 是点 P 关于原点的以称点，故点 Q 的坐标是（0，-m）,从而 ).,0(mQP,()(21yxmyxBA= ).1,2()(21yQP