圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典).doc

1、圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 tan,0,)k点到直线的距离 夹角公式：2AxByCd 21tank（3）弦长公式直线 上两点 间的距离：ykxb12(,)(,)AxyB21ABkx或2211()4122yk（4）两条直线的位置关系 =-1 121lk212121/bkl且2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：21(0,)xymn且距离式方程： 22)(cxcya参数方程： os,inxayb(2)、双曲线的方程的形式有

2、两种标准方程：21(0)xymn距离式方程： 22|)(|cxcya(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22bbpaa椭 圆 ： ； 双 曲 线 ： ； 抛 物 线 ：(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知 是椭圆 的两个焦点，平面内一个动点 M 满21F、 1342yx足 则动点 M 的轨迹是（ ）21MA、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式： 12tanFPPb在 椭 圆 上 时 ， S12co在 双 曲 线 上 时 ，（其中 ）22112 12|4,cos,|cs|FcFP PFP (6)、记住焦半径公式：（1） 0 0;xaexaey椭

3、 圆 焦 点 在 轴 上 时 为 焦 点 在 y轴 上 时 为，可简记为“左加右减，上加下减” 。（2） 0|xexa双 曲 线 焦 点 在 轴 上 时 为（3） 1 1|,|22ppy抛 物 线 焦 点 在 轴 上 时 为 焦 点 在 y轴 上 时 为(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设 、 ， 为椭圆 的弦 中点则有1,yxA2,yxBbaM, 1342yxAB， ；两式相减得3421134202121y=21212121 yyxxABkba432、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办

4、？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 ，以及根与系数的关系，代0入弦长公式，设曲线上的两点 ，将这两点代入曲12(,)(,)AxyB线方程得到 两个式子，然后 - ，整体消 1 2 1 2元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A、B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 ，就意味着 k 存在。ykxb例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 上，且点80542yA 是椭圆短轴的一个端点（点 A 在 y 轴正半轴上）.（1）若三角形 AB

5、C 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程;（2）若角 A 为 ，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程.09分析：第一问抓住“重心” ，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出直线 BC 的方程。第二问抓住角 A 为 可09得出 ABAC，从而得 ，然后利用联立消016)(14221 yyx元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程；解：（1）设 B（ , ）,C( , ),BC 中点为( ),F(2,0)则有1xy2xy0,yx620,2yx两式作差有 (1)016)()( 222121 yyxx 045kyxF(2,0)为三角形重心，所以由 ，得 ，由 得32

6、3021，代入（1）得20y56k直线 BC 的方程为 028yx2)由 ABAC 得 （2）016)(14221 y设直线 BC 方程为 ，得85,xbkxy代 入0850)54(22bxk，2212214kx代入（2）式得2121 580,548byky，解得 或06392b)(4舍94b直线过定点（0， ，设 D（x,y ） ，则 ，即)9 14xy0163292yxy所以所求点 D 的轨迹方程是 。)4(920)16(2 yyx4、设而不求法例 2、如图，已知梯形 ABCD 中 ，点 E 分有向线CDAB2段 所成的比为 ，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点当AC时，求双

7、曲线离心率 的取值范围。432e分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 ，如图，若设 C ，代入 ，求得 ，xOyhc, 212byaxh进而求得 再代入 ，建立目标函数,E 12byax，整理 ，此运算量可见是难上加难.我们对(,)0fabc(,)0fe可采取设而不求的解题策略,h建立目标函数 ，整理 ,化繁为简.(,)fabc(,)0fe解法一：如图，以 AB 为垂直平分线为 轴，直线 AB 为 轴，yx建立直角坐标系 ，则 CD 轴因为双曲线经过点 C、D，且以xOyyA、B 为焦点，由双曲线的对称

8、性知 C、D 关于 轴对称 y依题意，记 A ，C ，E ，其中 为0 ,ch, 20 ,x|21ABc双曲线的半焦距， 是梯形的高，由定比分点坐标公式得h， 1210ccx 0hy设双曲线的方程为 ，则离心率2baxace由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 代入双曲线方程得， 142bhe 12bh由式得 ， 142ebh将式代入式，整理得 ，2142e故 3由题设 得，432421e解得 07所以双曲线的离心率的取值范围为 10, 7分析：考虑 为焦半径, 可用焦半径公式, 用 的横坐AEC,AEC,标表示，回避 的计算, 达到设而不求的解题策略h解法二：建系同解法一， ，,

9、ECAaexaex，又 ，代入整理 ，由211Eccx1C132e题设 得，432432e解得 107所以双曲线的离心率的取值范围为 10, 75、判别式法例 3 已知双曲线 ，直线 过点 ，斜率为 ，当12:xyCl,2Ak时，双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线 的距离为 ，10k l2试求 的值及此时点 B 的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与 平行的直线，必l与双曲线 C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解

10、题思路：010)2(: kxkyl kkxyl: 的 值解 得 k解题过程略.分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线 的距离为 ”，相当于化归l2的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：简解：设点 为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直)2,(xM线 的距离为：l212kx10k于是，问题即可转化为如上关于 的方程.x把直线 l的方程代入双曲线方程，消去 y，令判别式 0直线 l在 l 的上方且到直线 l 的距离为 2转化为一元二次方程根的问题求解问题关于 x 的方程 有唯一10212kkx解由于 ，所以 ，从而有10kkx2 .

11、2kx于是关于 的方程x)1(22kk0)1( ,)(22xkxx.)( ,02)1(2)(22 kk由 可知：10方程 的二根同 02)1(2)1(22 kxkkxk正，故 恒成立，于是 等价于0)1(.)()( 2222 kkxkxk由如上关于 的方程有唯一解，得其判别式 ，就可解得 0.52k点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例 4 已知椭圆 C: 和点 P（4，1 ） ，过 P 作直线交椭圆于xy28A、 B 两点，在线段 AB 上取点 Q，使 ，求动点 Q 的轨迹AB所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学

12、生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点 的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直),(yxQ线 AB 的斜率 作为参数，如何将 与 联系起来？一方面利用点kyx,kQ 在直线 AB 上；另一方面就是运用题目条件： 来转化.APBQ由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到 ，要建立 与 的)(824BAxxxk关系，只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有

13、数. 将直线方程代入椭圆方程，消去 y，利用韦达定理利用点 Q 满足直线 AB 的方程：y = k (x4)+1，消去参数 k点 Q 的轨迹方程QBAP)(824BAxxkfx在得到 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，kfx目的不过是得到关于 的方程（不含 k） ，则可由 解得yx, 1)4(xky，直接代入 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过41xykkf程。简解：设 ，则由 可得：),(,21yxQByxA， QBAP，x21214解之得： （1）)(8241xx设直线 AB 的方程为： ，代入椭圆 C 的方程，消去)4(ky得出关于 x 的一元二次方程：y（2）08)1(2)(41222 kxkk .128)(,1kx代入（1） ，化简得： .34x(3)与 联立，消去 得：1)4(xkyk.0)4(2xy在（2）中，由 ，解得 ，结合0462 12k（3）可求得 .906x故知点 Q 的轨迹方程为： （ ）.2yx 9069016x