1、联邦理科 高二寒假1第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题一、直线恒过定点问题例1. 已知动点 在直线 上，过点 分别作曲线 的切线 ， 切点E:2lyE2:4Cxy,EAB为 、 , 求证：直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标；ABAB解：设 ，),(a)4,()(221xxy212,)(211两两两 Ex整理得：),(2141xax081ax同理可得： 808,2, 211221 xaxaxx两两，又)24,(AB两两 1212124AByakxx， .()()aya直 线 的 方 程 为 ()yAB即 过 定 点 0,例 2、已知点 0(,)Px是椭圆2:1xE上任意一点，直线 l的方程为 0
2、12xy， 直线 0l过P 点与直线 l垂直，点 M（-1 ，0）关于直线 0l的对称点为 N，直线 PN 恒过一定点 G，求点 G 的坐标。解：直线 0l的方程为 00()2()xyx，即 002yxy 设 ),1(M关于直线 l的对称点 N的坐标为 (,)mn则00021xnmy，解得320042048()xxny直线 PN的斜率为43200(4)yxxkm联邦理科 高二寒假2从而直线 PN的方程为： 4320008()(4)xxyxy即320042()18yxx从而直线 PN恒过定点 (,)G 二、恒为定值问题例 3、已知椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上，短轴长为 2，离心率为 2， P
3、是椭圆在第一 象限弧上一点，且 12P，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点。（1）求 P 点坐标；（2）求证直线 AB 的斜率为定值；解：（1）设椭圆方程为21yxab，由题意可得 ,abc，所以椭圆的方程为214yx则 12(0,)(,)F，设 00(,),)Px则 02PxyFy21()1点 0(,)xy在曲线上，则20.4xy22004yx从而22004()1，得 0，则点 P的坐标为 (1,)。（2）由（1）知 1/PFx轴，直线 PA、PB 斜率互为相反数，设 PB 斜率为 (0)k，则 PB 的直线方程为： 2(1)ykx 由 214
4、yx得 2 2()()()40kx联邦理科 高二寒假3设 (,)Bxy则22()1Bkk同理可得2Ak，则 24ABxk28(1)()BAyxk所以直线 AB 的斜率 BByx为定值。例 4、已知动直线 与椭圆 相交于 、 两(1)ykx2:153CA点,已知点 ， 求证： 为定值.7(,0)3MAMB解: 将 代入 中得 (1)ykx2153y22(3)6350kxk， 422236()480k，1221x2351kx所以 2121277(,)(,)()3MAByxy 13xk2221249()()kxk2 225761()33k。422649k课后作业：1. 在平面直角坐标系 xOy中，已
5、知椭圆2:13xCy.如图所示，斜率为 (0)k 且不 过原点的直线 l交椭圆 C于 A， B两点，线段 A的中点为 E， 射线 O交椭圆 C于点 G，交直线3x于点 (,)Dm.联邦理科 高二寒假4（）求 2mk的最小值；（）若 OGD E，求证：直线 l过定点；解：（）由题意:设直线 :(0)lykxn,由 213消 y 得: 22(3)630kxn,2264()(1)kn2(1)k设 A 1(,)xy、B 2,AB 的中点 E 0,xy,则由韦达定理得: 12= 23k,即 03k, 0231nk213nk,所以中点 E 的坐标为 (,k),因为 O、E、D 三点在同一直线上，所以 kK
6、，即 13mk， 解得 1k，所以 2m= 21,当且仅当 时取等号, 即 2的最小值为 2.（）证明:由题意知:n0,因为直线 OD 的方程为 yx,所以由 231myx得交点 G 的纵坐标为23Gmy,又因为 213Enyk, Dy,且 2OD E，所以221nk,又由（）知: m,所以解得 kn,所以直线 l的方程为 :lyx,即有 :(1)lyx, 令 1得,y=0,与实数 k 无关,所以直线 l过定点(-1,0).2. 已知点 为曲线 24(0)yx上的一点， 若 (4,0)A，是否存在垂直 x轴的直线 l 被以 AN为直N径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线 l的方程；若不存在， 请说明理由解：设 A的中点为 B，垂直于 x轴的直线方程为 xa，以 为直径的圆交 l于 ,CD两点， 的中点为 H联邦理科 高二寒假521(4)2CBANxy，41242xBHax 21()H221(4)6(3)4axaxa 所以，令 3，则对任意满足条件的 ，都有 291CH（与 x无关）， 即 23CD为定值 联邦理科 高二寒假6
