1、1直线与圆锥曲线的位置关系一知识网络结构： 繁 琐 ）利 用 两 点 间 距 离 公 式 （ 易 ）利 用 一 般 弦 长 公 式 （ 容弦 长 问 题直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 系 ）直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关代 数 角 度 （ 适 用 于 所 有 位 置 关 系主 要 适 用 于 直 线 与 圆 的几 何 角 度关 系直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置直 线 与 圆 锥 曲 线 )(.12.直线与圆锥曲线的位置关系：.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有
2、一个交点。.从代数角度看：设直线 L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到 。02cbxa. 若 =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 L 与双曲线的渐进线平行或重合；a当圆锥曲线是抛物线时，直线 L 与抛物线的对称轴平行或重合。.若 ，设 。 . 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。0acb420b. 时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c. 时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。0二常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：例 1.椭圆 上的点到直线 的最大距离是（ ）1462yx2yxA.3 B. C. D. 10例 2.如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）19362yx)
3、2,4(A. B. C. D.02y00123yx082yx题型二：直线与双曲线的位置关系：例 3.已知直线 与双曲线 =4。1:kxyL2:yxC若直线 与双曲线 无公共点，求 k 的范围；若直线 与双曲线 有两个公共点，求 k 的范围；LC若直线 与双曲线 有一个公共点，求 k 的范围；若直线 与双曲线 的右支有两个公共点，求 k的范围；若直线 与双曲线 的两支各有一个公共点，求 k 的范围。L2题型三：直线与抛物线的位置关系：例 4.在抛物线 上求一点 P，使 P 到焦点 F 与 P 到点 的距离之和最小。xy2 )2,3(A题型四：弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化
4、解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线 与圆锥曲线交于点 ， 时，则 =k斜 率 为 1y,xA2,BAB=2k121x2k21214xx= =221y22121yy可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。例 5.过双曲线 的右焦点 ，倾斜角为 的直线交双曲线于 A、B 两点，求 。1632yx2F033题型五：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；.设
5、弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于 x（或 y）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率 k，然后写出弦的方程；.设弦的两个端点分别为 ，则这两点坐标分别满足曲线方程，又 为21,yx 2,11yx弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。例 6.已知双曲线方程 =2。求以 A 为中点的双曲线的弦所在的直线方程；2yx1,过点 能否作直线 L，使 L 与双曲线交于 ， 两点，且 ， 两点的中点为 ？如果存在，1, Q212Q1,求出直线 L 的方程；如果不存在，说明理由。题型六：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：例 7
6、.在抛物线 上求一点，使它到直线 L： 的距离最短，并求这个最短距离。xy642 0463yx4练 习 题1.（09 上海）过点 作倾斜角为 的直线，与抛物线 交于 两点，则 = )0,1(A42yxMN、。写出所涉及到的公式：2.（09 海南）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 为 的中点，则抛物线 C 的方程为 。2,PAB3.（08 宁夏海南）过椭圆 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点，O 为坐标2154xy原点，则OAB 的面积为 4.（11 全国）已知直线 L 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的
7、对称轴垂直，L 与 C 交于 A，B 两点，|12ABP 为 C 的准线上一点，则 的面积为（ ）ABPA18 B24 C 36 D 485.（09 山东）设斜率为 2 的直线 过抛物线 的焦点 F,且和 轴交于点 A,若OAF(O 为坐l2(0)yaxy标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( )A. B. C. D. 24yx28yx2428yx6.（09 山东）设双曲线 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的离心12ba2率为( ).A. B. 5 C. D. 45257.（10 全国）设 , 分别是椭圆 E： + =1（0b1）的左、右焦点，过 的直线 L 与 E 相交1F2 x2yb1F于 A、B 两点，且 ， ， 成等差数列。求 若直线 L 的斜率为 1，求 b 的值。AB2FAB8.（11 江西）已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于0pxy22,Axy（ ）两点，且 求该抛物线的方程； 为坐标原点， 为抛物线上一点，2,xy12x9OC若 ，求 的值OBAC
