第二章 随机变量的分布及数字特征.doc

1、 第二章 随机变量及其数字特征 31第二章 随机变量及其数字特征一、教学要求1. 理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；2. 理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率；3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。二、重点与难点本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种分布，随机变量函数的分

2、布、数学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。2.1 随机变量及其分布一、 随机变量1引入随机变量的必要性1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中，抽样中 出现的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等。2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。如：掷硬币问题中，记出现正面时为“1” ，出现反面时为“0” 。注：这些例子中，试验的 结果能用一个数字 X 来表示，这个数 X 是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。2引例先看一个具体的例子:例 1

3、袋中有 3 只黑球，2 只白球，从中任意取出 3 只球，观察取出的 3 只球中的黑球的个数我们将 3 只黑球分别记作 1，2，3 号，2 只白球分别记作 4，5 号，则该试验的样本空间为45145235， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为 1，2，3因此， X 是一个变量但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X 的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量第二章 随机变量及其数字特征 32X 的取值情况可由下表给出：由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间

4、上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件例如表示取出 2 个黑球这一事件；2X：表示至少取出 2 个黑球这一事件，等等X3定义1）描述性定义：定义在样本空间 上的实值函数称为随机变量,常用大写 X,Y,Z 等表示；随机变量的取值用小写字母 x,y,z 等表示。2）严格定义：设 为一概率空间， 是定义在 上的实值函数，(,)P(),X若对任一实数 ， ，则称 为随机变量。x:Xx4.随机变量的例子例 2 上午 8:009:00 在某路口观察，令：Y：该时间间隔内通过的汽车数则 Y 就是一个随机变量它的取值为 0，1，表示通过的汽车数小于 100 辆这一随机事件；表

5、示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件5例 3 观察某生物的寿命（单位：小时） ，令：Z：该生物的寿命则 Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数 表示该生物的寿命不超过 1500 小时这一随机事件150二、分布函数及其性质1.分布函数的概念定义 设 为一概率空间，X 为定义在其上的随机变量,对任意实数 x,称(,)P样 本 点 黑 球 数 X 样 本 点 黑 球 数 X 321， 3 541， 1 4， 2 ， 2 5， ， ， 2 ， 1 31， 543， 第二章 随机变量及其数字特征 33()FxPXx为随机变量 X 的分布函数,且称 X 服从 ,记为 X .有时

6、也可用 表明是 X 的(F()XFx分布函数.2.例子例 4 向半径为 r 的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离 X 的分布函数 ,并求 P(X()x).23r解 事件“ ”表示所抛之点落在半径为 的圆内，故由几何概率知Xx(0)xr从而2()().xFPr225PX =1-1-().3393.分布函数的性质 定理：任一分布函数 都有如下三条基本性质:()Fx（1）单调性: 是定义在整个实数轴 上的单调非减函数，即对任意的 ，(,)12x有 ；2()Fx（2）规范性: = ；()lim()0xF= 。1x（3）右连续性: 是 x 的右连续函数，即对任意的 ，有() 0x，0li()xF即 。0

7、x证明 略。注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。（2）有了分布函数的定义，可以计算：， ，()()PaXbFa()()PXFa等。1三、离散随机变量及其分布列1离散型随机变量的概念 若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量 X 的统计规律必第二章 随机变量及其数字特征 34须且只须知道 X 的所有可能取值以及 X 取每一个可能值的概率。 2分布列 设 X 是一个离散随机变量，如果 X 的所有可能取值是 ，则称 X12,nx 取 的概率ix(),12,iiipxP

8、xn 为 X 的概率分布列或简称为分布列，记为 。iXp分布列也可用下列形式表示：或12()()nxxpp X12P3.分布列的基本性质 (1)非负性： ()0,12,;ipx(2)正则性： 1.ii注 1）离散随机变量的分布函数为： 。()()iixFp2）设离散型随机变量 X 的分布函数为 ， 为其间断点，k =1, 2, , 则X 的分布律为 0,12,kkkkpPx4.例子例 5 设离散随机变量 X 的分布列为，1230.5.试求 ，并写出 X 的分布函数。(0.5),(1.)P解 略。例 6 从 110 这 10 个数字中随机取出 5 个数字，令：X：取出的 5 个数字中的最大值试求

9、 X 的分布列解：X 的取值为 5，6，7，8 ，9，10并且410610kCP， ， ，第二章 随机变量及其数字特征 35具体写出，即可得 X 的分布列：例 7 设随机变量 X 的分布列为112,4nPc c， ， 试 求 常 数 解：由分布列的性质，得，所以1141nnnXc3c四、连续随机变量及其密度函数1.连续型随机变量的概念定义 设随机变量 的分布函数为 ，如果存在实数轴上的一个非负可积函数 ，使()Fx ()px得对任意 ，有，()()xptd则称 X 为连续随机变量，称 为 X 的概率密度函数， 简称为密度函数。2.密度函数的基本性质（） 非负性： ；()0px（） 正则性： ；

10、1d反过来，若已知一个函数 满足上述性质(1)和(2),则 一定是某连续型随机变量()x()pxX 的概率密度函数另外，对连续型随机变量 X 的分布，还具有如下性质：（1） 。 ,(),()()()baabRPabFxd更一般的，对一般的区间 ，有B().BPXpxd（2）连续型随机变量 X 的分布函数 是连续的,但反之不真；()x（3）连续型随机变量 X 取任一确定值的概率为 0；即对于任意实数 ， ；c()0PXc事实上， .0,()()chhPchXpxdX 5 6 7 8 9 10 P 2 51 23 57 26 第二章 随机变量及其数字特征 36令 0,()0,P(X=c)0chpx

11、d即 得 。注：因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,概率为零的事件未必是不可能事件；概率为 1 的事件也不一定是必然事件。(4) 若 在 处连续，则有()Px0 0()()xFp3例子例 8 设 ，求:(1)常数 K；(2) X 的分布函数；(3)2()30KxXp令5(1).2P解 (1)由性质 。解之得2302()1, 1pxdxdx得 6.31。2631()0X令(2)X 的分布函数为26310631202() 3xxtdxFt 3214002()3xFx（3） 。23558(1)()()13124PXF51()pxd2.2 随机变量的数字特征概率分布能完整、全面地刻画随机变量

12、的统计规律，但是：(1)在实际应用中概率分布常常难以精确地求出；(2)在实际问题中,有时关心的问题仅是随机变量的某些统计特征，而不是随机变量全面的变化规律,如测量误差的平均误差,评定射击手的稳定性的离散度等；(3)对很多重要分布，只要知道它的某些数字特征，就可以完全确定其概率分布。数字特征通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。一、随机变量的数学期望1引例某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：掷得点数 1 点 2，3 点 4，5，6 点第二章 随机变量及其数字特征 37获得（元） 1 2 4求：一次游戏平均得多少钱？解：假设做

13、了 n 次游戏， 123nn得 元 次 数 ， 得 元 次 数 ， 得 元 次 数 ，。每次平均得：12323, 4则 获 得 ：当 n 很大时，14.nn123 1766pp2.离散型随机变量的数学期望1）定义 设离散随机变量 X 的分布列为(),12,iiipxPXxn 如果 ，1|iii则称 1()()iiEXxp为随机变量 X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数不收敛，则称 X 的数学期望不存在。1|()iiixp注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，其与 X 取值顺序无关。2）例子例 9 设 服从几何分布， 求 k-1P(=)p,(2,).E解： k1

14、k1k1k1E(p).由于 故 2k1k1xx,()2k1(p),Ep例 10 设 X 取 (k=1,2,)对应的概率为 ，证明 E(X)不存在。(1)kx12kxp证明 且 。但级数02kxp112kxkp第二章 随机变量及其数字特征 38发散1112kkxk kp所以 E(X)不存在，但级数(交错级数满足 Leibniz 条件)( 收敛) 111()()ln22kkkxk k要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。 2 连续型随机变量的数学期望1） 定义 设连续随机变量 X 的密度函数为 p(x),如果，|)d则称 ()Ex为 X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若 不收敛

15、，|()xpd则称 X 的数学期望不存在。2）例子例 11 设随机变量 X 服从 (-x+) 试讨论 E(X)。此分布称为21()pxCauchy 分布。解 202201() ln()|,(1)()xfddxdxx 即 不绝对收敛，因此数学期望 E(X)不存在。f设 X 服从区间 上的均匀分布，求 。(,)ab例 12 设随机变量 X 的密度函数为：,01()22,x其 它求数学期望 EX。解： 012012() ()017326EXxdxxdxdx 例 13 设 为仅取非负整数的离散型随机变量，若其数学期望存在，证明：第二章 随机变量及其数字特征 39.)()(1kXPE证明：由于 而.1k

16、 )3()2()()(11 XPXPjkjk ).(1Ekk例 14 设连续型随机变量 的分布函数为 且数学期望存在，证明),(xF.)()()(00dxFXE证明： 000 )(1)()( xFdxFxxd.1|1)(|)( 00dx由均值存在得 于是有,|dF.)(0)|)(10(|BABxA令以此代入 的计算式即得EX .)(100dxFxXE二、随机变量函数的分布及数学期望1.随机变量函数的分布1）离散型随机变量函数的分布列设 X 一个随机变量，分布列为 , k1, 2, kpxP)(则当 Yg(X )的所有取值为 (j1, 2, )时，随机变量 Y 有如下分布列：y, j1, 2,

17、jjyq其中 是所有满足 的 对应的 X 的概率 的和，即j ()ijxyi ()iiPxp()(ijj igxyPYPX第二章 随机变量及其数字特征 40例 15 设离散型随机变量 X 有如下分布列，试求随机变量 的分布列。2(3)1YXX1 3 5 7P 0.5 0.1 0.15 0.25解 Y 的所有可能取值为 1，5，17，2(1)(3)(3)0.1XPX，5)(5).01.65P。2(7)(17.2Y故 Y 的分布列为Y 1 5 17P 0.1 0.65 0.252）连续型随机变量函数的分布(1)一般方法设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 ，(-x+ ), Y=g(X)为随机变量 X 的()Xpx函数，则 Y 的分布函数为。()F()()gxyyPd从而 Y 的概率密度函数 为Yy()().Ydyp例 16 设随机变量 求 Y=3X+5 的概率密度。2,01,()Xxp令解 先求 Y=3X+5 的分布函数 。()YFy53()35)()yY XFyPPXpxd20,1(5),89,.yY 的概率密度函数为