1、一道高考解析几何题的背景溯源极点、极线与圆锥曲线的位置关系题目 已知椭圆 的两个焦点 ，点 满足 ，则的取值范围是 ，直线 与椭圆的公共点的个数是 .这是 2010 年高考湖北卷文科第 15 题，本题是一道涉及到点、直线与圆锥曲线的位置关系的判定的考题从高等几何的观点知，这里的点 和直线 就是椭圆 的一对极点与极线，本题第二问实际上是：已知椭圆的极点在椭圆内，判断极线与椭圆的位置关系据笔者之前发表的文章中圆锥曲线极点和极线的几何性质可得如下结论：定理 已知点 和直线 是圆锥曲线 的一对极点与极线（1）若极点 在曲线上，则极线 与曲线 的相切于点 ；（ 2）若极点 在曲线内，则极线 与曲线 的相
2、离；（2）若极点 在曲线外，则极线 与曲线 的相交由该定理不难知道，考题中的直线 与椭圆相离，故公共点个数为 0若运用几何画板进行实验操作动态演示，不仅可以验证确认该结论，而且还可获得直观感知从而加深印象强化理解本文将借用判别式法给出该定理的另一种证明为了表达方便我们给出圆锥曲线内部和外部的定义圆、椭圆是封闭图形其内部和外部不言而喻，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，我们参考一些杂志专著，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部关于点与圆锥曲线位置关系我们有如下结论（这里证明从略）引理 1 已知
3、点 和抛物线 则（1）点 在 上；（2）点 在 内 ；（3）点 在 外 引理 2 已知点 和椭圆（或圆） 则（1）点在 上 ；（ 2）点 在 内 ；（3）点 在 外引理 3 已知点 和双曲线 则（1）点 在 上；（2）点 在 内 ；（ 3）点 在 外 圆锥曲线把平面上的点分成三个部分：曲线上的点、曲线内的点和曲线外的点，每一部分的点的坐标对于曲线方程的左右两边的值具有相同的大小关系，真是“物以类集，人以群分”下面将圆锥曲线分为抛物线、椭圆（圆）和双曲线三种情形，借用判别式法对定理给出如下证明定理 1 已知点 和直线 是抛物线 的一对极点与极线则（1）点 在 上 直线 与 相切于点 ；（2）点在
4、 内 直线 与 相离；（3）点 在 外 直线 与相交证明 由 得， ，将其代入抛物线方程得，所以 所以，（1）点 在 上直线 与 相切于点 ；（2 ）点 在 内直线 与 相离；（3）点 在 外 直线 与 相交定理 2 已知点 和直线 是椭圆（圆）的一对极点与极线则（1）点 在 上直线 与 相切于点 ；（2）点 在 内 直线 与相离；（3）点 在 外 直线 与 相交证明 当 时， 则（1）点 在直线 与 相切于点 ；（2）点 在 内直线 与 相离；（3）点 在 外直线 与 相交 当 时， ，将其代入曲线方程整理得，所以 所以，（1）点 在 上 直线 与 相切于点 ；（2）点 在 内 直线 与 相
5、离；（3）点 在 外直线 与 相交综上所述，命题结论正确同理可证如下如下结论：定理 3 已知点 和直线 是双曲线的一对极点与极线则（1）点 在 上直线 与 相切于点 ；（2）点 在 内 直线 与相离；（ 3）点 在 外 直线 与 相交下面举例说明极点、极线与圆锥曲线位置关系在解题中的应用1.判断点与圆锥曲线的位置关系例 1 若直线 和 没有公共点，则过点 的直线 与椭圆 的公共点（ ）至少有一个 有两个 只有一个 不存在解 显然点 和直线 恰好是 的一对极点和极线，又极线与圆没有公共点，所以极点 在圆内，所以 ，所以 ，所以，所以点 在椭圆内（实际上，由图形可知圆上除两个点在椭圆上外，其余点均
6、在椭圆内，因点 在圆内，则点 必在椭圆内），故过点 的直线 与椭圆 相交有两个公共点，故应选 例 2 已知直线 与双曲线 没有公共点，则 的取值范围是 解 因为极线 与双曲线 没有公共点，所以对应极点在双曲线内部，所以有 ，故 的取值范围是 2.判断直线与圆锥曲线的位置关系例 3 若点 是 内一点，直线 是以点为中点的弦所在的直线，直线 的方程为 ，则（ ），且 与 相离 ，且 与 相交 ，且 与 相离 ，且 与 相交 解 显然点 和直线 恰好是 的一对极点和极线，因极点在圆内，所以极 与圆相离又 是直线 的一个法向量，所以 ，而直线 是以点 为中点的弦所在的直线，所以 ，所以 故应选 例 4 已知曲线 ，过点 能否作一条直线 ，与双曲线相交于 两点，且点 是线段 的中点？解 假设存在这样的直线 设 ，则 ，两式相减得， 因点是线段 的中点，所以 ，代入上式可得 若 则有 ，于是 两点重合不合题意，所以，所以 ，即直线 的斜率为 ，故直线 的点斜式方程为，即 将直线方程化为双曲线的极线方程形式得，因直线 对应的极点为 ，而 ，所以极点在双曲线内，从而直线 与双曲线相离没有公共点，这与假设矛盾，故不存在这样的直线
