1、4-3 拉普拉斯變換解微分方程Laplace 變換之解題過程 :一、常係數微分方程解初始值問題 02/y .(*)(,1)0(/y(1) 在(*)式等號兩邊做拉普拉斯變換L2/y L 0 利用線性性質，得L /- L /-2 L 則2sL)(ty- sys)0(/L 2)0(ftL 0)(ty代入初始條件，得 L t之代數方程2sL )(sL 2)(L 1)(sty - (a)(2) 解代數方程 (a)，得L )(ty21s 困難簡單L1L的線性 ODEty L 之代數方程或低階 ODE)(styODE 的解 )(ty L )(sty(3) 在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得 )(tyL -1 L
2、 )(ty= L -1 21s利用 13212sss及 Late= ，得初始值問題的解為 )(tyL -1 2s+ L -1 1s31tet解初始值問題 ty2sin/ , .(*)1)0()(/(1) 在(*)式等號兩邊做拉普拉斯變換Ly/ L t2sin 利用拉普拉斯變換的微分性質以及 L 2iast，得2sL y)0(/ys L 42代入初始條件，得 L t之代數方程)1(2sLy 12s- (b)(2) 解代數方程 (b)，得L y 413251)4(1682223 ssss(3) 在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得初始值問題的解為 ttttyin3i5co2)(由 L 2inast，L
3、2coast)解解初始值問題 0)4(y, .(*) 0)(,)(1)(/ y(1) 在(*)式等號兩邊做拉普拉斯變換L )4(y- L L 0)(利用拉普拉斯變換的微分性質，得 4sL )()()0(/23 ysy L 0代入初始條件，得 L t之代數方程)1(4sL 2s - (c)(2) 解代數方程 (c)，得L 12124ssy(3) 在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得初始值問題的解為 ()sinhi2yttt(由 L 2sinat以及 L )sinh2at註：Laplace transform 方法的好處在於能直接解出答案而不必去猜特別解及求微分方程的一般解定理設 )(tf在上片段連續,
4、 | )(tf| atKe, M, ,a , M 為常數, 則 LNnsFtn, .(D) 其中 0)()(dtfesFst(用數學歸納法)(1)若 n=1 時, 0/ )()(dtfedsFt= 0)(dtftesL )(tf， 則(D) 式成立。(2)假設 n=k 時， (D)式成立 即 )(sLkL )(tfk成立要證 n=k+1 時，(D)式成立。)(1sFk)(sk/=0)(dtfedst=0)()(dtftetks= L )(1tfk， 則(D)式成立。得證。二、非常係數線性微分方程Bessel定義: 微分方程 0)(2/2yptyt ，稱為 p 階之 Bessel 方程(Bess
5、els equation of order p)， (p 0)求 0 階之 Bessel 方程02/2ytyt， t 0.(B)之一般解。將(B)式除以 t， 0/ty(1) 在上式等號兩邊做拉普拉斯變換，得L /t+ L /+ Lt= 0利用上一個定理，得 dsL /y+ L /)(/sF利用拉普拉斯變換的微分性質，得0)()0()0()( /2 sFysysFds代入初始條件，得可分離方程)(1/2s(2) 解上式，得 21)()scF由二項式定理，上式可改寫 21)()sskkCc)(201202)!(!)(kksc ， 21)!( !2.642)1.(53)1(!(21.k kkkCk
6、(3) 在上式兩邊做反拉普拉斯變換，由 L 1!nst，及取 c =1，得 0 階之 Bessel 方程之一解)(1tyL 1)(sF kkt20)!(1)(0tJ其中 )(0tJ稱為第一類的 0 階之 Bessel 函數(Bessel function of the first kind of order 0)。另一線性獨立解為12202 )!(ln)(nntHtJty，其中 Hn.(第五章 級數解中會介紹解 )(2ty如何求得)故 0 階的 Bessel 方程之一般解為 )()(21tyctt另外，定義 12010 )!()(2ln( )(l)nntHtJryttY稱為第二類的 0 階之 Bessel 函數(Bessel function of the second kind of order 0)，其中 Euler 常數 = limn572.lH0 階的 Bessel 方程之一般解亦可表為 )()()(021tYctJty。
