数字规律题.doc

1、数字规律题规律探析问题，是近几年中考数学里比较经典的考点问题。数字规律问题的探析，就是其中的一个重要分支。1、数列型数字问题探找规律例 1、有一组数：1，2，5，10，17，26，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第 8 个数为 解析：仔细观察这一数列中的各个数字的构成特点，不难发现如下；第一个数是 1，第二个数数 1+1，第三个数是 1+1+3，第四个数是 1+1+3+5，第五个数是1+1+3+5+7，第六个数是 1+1+3+5+7+9， 为了使规律凸显的明显，我们不妨把第一个数 1 也写成两个数的和的形式，为 1+0，这样，就发现数字 1 是固定不变的，规律就蕴藏在新数列 0，1，

2、4，9，16 中，而0，1，4，9，16 这些数都是完全平方数，并且底数恰好等于这个数字对应的序号与 1的差，即 1=1+（1-1） 2，2=1+（2-1） 2，5=1+（3-1） 2，10=1+（4-1） 2，17=1+（5-1）2，26=1+（5-1） 2，这样，第 n 个数为 1+（n-1） 2，找到数列变化的一般规律后，就很容易求得任何一个序号的数字了。因此，第八个数就是当 n=8 时，代数式 1+（n-1） 2 的值，此时，代数式 1+（n-1） 2 的值为 1+（8-1） 2=50。所以，本空填 50。例 2、古希腊数学家把 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，根据它的规律

3、，则第100 个三角形数与第 98 个三角形数的差为 199解析：本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律。我们不妨利用函数的思想去试一试。当序号为 1 时，对应的值是 1，有序号和对应的数值构成的点设为 A，则 A（1，1） ；当序号为 2 时，对应的值是 3，有序号和对应的数值构成的点设为 B，则 B（2，3） ；当序号为 3 时，对应的值是 6，有序号和对应的数值构成的点设为 C，则 C（3，6） ；因为， ， ，所以有： 成立，所以，对应的数值 y 是序号12361n 的二次函数，因此，我们不妨设 y=an2+bn+c，把 A（1，1） ，B（2，3） ，C（3，6）分别代入 y=an

4、2+bn+c 中，得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a= ，b= ，c=0，1所以，y= n2+ n，因此，当 n=100 时，y= 1002+ 100，当 n=98 时，y= 982+ 98，因此（ 1002+ 100）-（ 982+ 98）1 1=199，所以该空应该填 199。2、图示型数字问题探找规律例 3、为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示：按照上面的规律，摆 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）A B C D解：第一个图需要火柴的根数是 8，有序号和对应的数值构成的点设为 A，则 A（1，8） ；第二个图需要火柴的根数是

5、 14，有序号和对应的数值构成的点设为 B，则 B（2，14） ；第三个图需要火柴的根数是 20，有序号和对应的数值构成的点设为 C，则 C（3，20） ；因为， ， ，所以有： 成立，所以，每个图形中所6128462314023140814需要的火柴的总根数 y 是这个图形的序号 n 的一次函数，因此，我们不妨设 y=kn+b，把 A（1，8） ，B（2，14）分别代入 y=kn+b 中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2 ，所以，y=6n+2。因此选 A。例 4、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第 5个图案中小正方形的个数为_。解析：仔细

6、观察第一个图，正方形的个数为 1，第二个图形中正方形的特点是中间是 3 个，左右两边各一个，即为 1+3+1 个，第三个图形中正方形的特点是中间是 5 个，左右分别是 1+3个，即为 1+3+5+3+1，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n 个图形中正方形的个数为 1+3+5+ +（2n-1）+ +5+3+1=2n2-2n+1，这样，第 5 个图形中正方形的个数，也就是当 n=5 时，代数式 2n2-2n+1 的值，所以，代数式的值为：2n2-2n+1=252-25+1=41 个。所以，本空填 50。例 5、按如下规律摆放三角形：则第（4）堆三角形的个数为_；第(n)堆

7、三角形的个数为_.解析：仔细观察第一个图形，三角形排列的特点是中间 3=(1+2)个,左右各 1 个,即图 1 中三角形的总数为 1+(1+2)+1,第二个图形中三角形形的特点是中间是 4=(2+2)个，左右两边各 2 个，即为 2+(2+2)+2 个，第三个图形中三角形的特点是中间是 5=(3+2)个，左右分别是 3 个，即为 3+(3+2)+3，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第 n 个图形中三角形的个数为 n+（n+2）+n =3n+2，这样，第 4 个图形中三角形正方形的个数，也就是当 n=4 时，代数式 3n+2 的值，所以，代数式的值为：3n+2=34+2=

8、14 个。所以，本题的两个空分别填 14 和 3n+2。例 6、柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：第一层有 23 听罐头，第二层有 34 听罐头，第三层有 45 听罐头，根据这堆罐头排列的规律，第 n（n 为正整数）层有 听罐头（用含 n 的式子表示） 。解析：仔细观察图形，第一层有 23 听罐头，对应的序号为 1，第一个数字 2 与序号 1 的关系是序号+1，第二个数字是 3，它与序号的关系是序号+2；第二层有 34 听罐头，对应的序号为 2，第一个数字 3 与序号的关系是序号+1，第二个数字是 4，它与序号的关系是序号+2；第三层有 45 听罐头，对应的序号为 3，第一个数字 4

9、与序号的关系是序号+1，第二个数字是 5，它与序号的关系是序号+2；分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第 n 层中有（n+1） （n+2）听罐头，即 n2+3n+2。所以，本题的空填 n2+3n+2。例 7、下列图中有大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有 3 个，第 3 幅图中有 5 个，则第 幅图中共有 个。解析：仔细观察第一个图形，有一个菱形，第二个图形中有 3 个菱形，第三个图形中有 5 个菱形，仔细观察这些数的特点，恰好是奇数构成的数列，由此，就清楚了变化的规律了。所以，第 n 个图形中有 2n+1 个菱形。3、恒等式型数字问题探找规律例 8

10、、试观察下列各式的规律，然后填空：1 2 3 n 则 _。解析：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。仔细观察式子，不难发现等式左边中的（x-1）是个固定不变的量。左边式子中第二个括号中多项式的次数是不断变化的，且多项式的次数等于对应等式的序号数，即第一个等式中的多项式的次数是 1，第二个等式中的多项式的次数为 2， 所以，第 n 个等式中的多项式的次数为 n，这是等式左边的变化规律；等式右边的规律，容易找些，多项式中的常数项是保持不变的，字母 x 的指数随等式的序号变化而变化，且满足字母 x 的指数等于等式

11、的序号加 1。所以，第 10 个等式的结果为。1x例 9、观察下列各式：依此规律，第 n 个等式（n 为正整数）为 。解析：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。等式左边底数的特点是，个位数字都 5，是个不变的量，十位数字与对应的序号一致，分别是 1、2、3、4；等式右边的特点是：第一个数字与对应的序号是一致的，括号里的数字的特点是对应的序号与常数 1 的和；第三个数字又是一个固定的常数 100；第四个数字是常数 5 的平方，也是固定不变的。通过分析，我们知道在这里对应的序号是问题的根本。而第 n 个等式的序

12、号为 n，所以第n 个等式应该是：（10n+5） 2=n（n+1）100+5 2。例 10、观察下列等式：第一行 3=41 第二行 5=94第三行 7=169第四行 9=2516 按照上述规律，第 n 行的等式为_ 解析：等式的左边的特点是：奇数 3、5、7、9 ，这些奇数可以用对应的序号表示，3=21+1， 5=22+1，7=23+1，9=24+1，其中 1、2、3、4 等恰好是对应的序号，所以，第 n 个奇数为 2n+1，这样，我们就把等式左边的规律找出来了；等式右边的特点是：被减数为 4、9、16、25、恰好是 22，3 2，4 2，5 2，等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数

13、=对应序号+1，这样，我们就又找到了一部分规律，第 n 个被减数为（n+1） 2；减数分别为 1、4、9、16恰好是 12，2 2，3 2，4 2，等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号，这样，我们就又找到了一部分规律，第 n 个减数为 n2；所以，本题的变化规律为：2n+1=（n+1） 2- n2。例 11、观察下列各式：请你将发现的规律用含自然数 n(n1)的等式表示出来 。解：仔细观察我们发现，等式的左边的特点是：被开方数中，第一个加数分别是 1、2、3、等的自然数，第二个加数是一个分数，且分子都是 1，是固定不变的，这就是一条规律；分母分别是 3、4、5、6，这些数与

14、第一个加数的关系是：分母=第一个加数+2，这是第二规律；等式的右边的特点是：二次根式的系数分别是 2、3、4、5、，这些数与左边的被开方数中的第一个加数的关系是：二次根式系数=左边的被开方数中的第一个加数+1，这是右边的第一个规律；而被开方数也是一个分数，且分子是 1，保持不变，这是一条规律，分数中的分母与左边分数中分母一样。这是第二条规律。这样的话，因为，第 n 个等式中的第一个加数为 n，所以，第 n 个等式为： =( n+1 ) 。21n21n4、幂指数型数字问题探找规律例 12、已知：2 1=2，2 2=4，2 3=8，2 4=16、2 5=32，仔细观察，式子的特点，根据你发现的规律

15、，则 22008 的个位数字是： A） 2 B） 4 C） 6 D） 8解析：仔细观察，不难发现，当幂的指数能被 4 整除时，这个数的个位数字是 6，当被 4 除，余数是 3 时，这个数的个位数字为 8，当被 4 除，余数是 2 时，这个数的个位数字为 4，当被4 除，余数是 1 时，这个数的个位数字为 2， 所以，问题解决的关键，就是看幂的指数被4 除的情形就可了。我们知道 2008 是能被 4 整除的，所以，2 2008 的个位数字是 6，所以，选 C。5 、排列型数字问题探找规律例 13、把正整数 1，2，3，4，5，按如下规律排列：12，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，1

16、3，14，15， 按此规律，可知第 n 行有 个正整数解析：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有 1 个数字，第二行有 2 个数字，第三行有4 个数字，第四行有 8 个数字，再用我们前面所用的方法，我们就不容易找到变化的规律了。我们不妨换一种思路。利用幂指数的思想试一试。由于第一个数字是 1，联想到任何不是零的数的任何次幂都是 1，所以，指数 0=序号 1-1，又因为第二行有 2 个数字，第三行有 4 个数字，第四行有 8 个数字，这些数字都是偶数，所以底数一定是偶数，是 2、或4 或 6 等等，但是，第二个数为 2，指数等于 2-1=1，所以，底数为 2，这样，我们就找到规律，第 n

17、行中的数字个数为 。1n例 14、将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对（ ， ）表示第 排，从左到右第 个数，如（4，3）表示实数 9，则（7，2）表示的实数是 。解析：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有 1 个数字，第二行有 2 个数字，第三行有3 个数字，第四行有 4 个数字，第 n 行有 n 个数字，这是第一条变化规律；我们再来观察一下，每一行最后的一个数字的特点，不难发现，第二行的最后一个数字 3=第一行中的数字个数 1+第二行数字个数 2，第三行最后的数字 6=第一行数字个数 1+第二行数字 2+第三行数字个数 3；因此，第 n 行的最后一个数字=1+2+3+4+

18、 +n= ，2)1(n所以，第六行最后的数字为： = =21，所以，第七行的第一个数字为 22，第2)1(76二个数字位 23，因为（7，2）的意义就是第七行第二个数的意思，所以， （7，2）表示的实数是 23。6、图表型数字问题探找规律例 15、观察表 1，寻找规律表 2 是从表 1 中截取的一部分，其中 的值分别为（ abc， ，） 。表 1 表 21 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 A20，25，24 B25 ，20，24 C18，25，24 D20，30，25解析：仔细观察图表的结构，发现第 n 行，第 m 列的交叉处的数恰好是 n 与 m 的积。结合表 1，就知道数 c 在六行，四列的交叉处，所以 c 的数值为 64=24；a 在四行，五列的交叉处，所以 a 的数值为 45=20；b 在五行，五列的交叉处，所以 b 的数值为55=25；所以，选 A。董义刚 1343984971216 a20 bc30