球的切接问题专题.doc

1、 专题：球的切接问题 一知识点 1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为 ，球半径为 。aR如图 1，截面图为正方形 的内切圆，得 ；EFGH22 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 2 作截面图，圆 为正方形 的外接圆，易得 。OEFaR23 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 3，以对角面 作截面图得，圆 为矩形 的外接圆，易得1ACA1。aOR214.正四面体的外接球和内切球 如图 4 所示，设点 是内切球的球心，正四面体棱长为 由图形的对称性知，点 也是OaO外接球的球心设内

2、切球半径为 ，外接球半径为 rR正四面体的表面积 2234aS表正四面体的体积 22211BEAEVBCDA 322313aa图 1 图 2 图 3图 4， BCDAVrS表31aSVrBCDA12633表在 中， ，即 ，得 ，得EORt22EO2rRaR46r3小结:正四面体内切球半径是高的 ，外接球半径是高的14 345.长方体的外接球：即正方体的各顶点都在球面上。设长方体的棱长分别为 a，b，c。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？联想正方体的外接球，过长方体的对角面的作截截面图a（4） 2cb结论：由图形（4）我们可以发现外接球的半径 2cbaR二、题型与方法归类例 1、 （1）若

3、棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_本题主要考查简单的组合体和球的表面积画出球的 轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以有球的半径 R ，则该 球的表面积为 S4R 227. 故填 27332(2) 求棱长为 1 的正四面体外接球的体积设 SO1是正四面体 SABC 的高，外接球的球心 O 在 SO1上，设外接球半径为 R，AO1r，则在ABC 中，用解直角三角形知识得 r ，33从而 SO1 ，SA2 AO211 13 23在 RtAOO1中，由勾股定理得 R2( R) 2( )2，解得 R ，23 33 64V 球 R3 ( )3 .43 43 64 68变式练

4、习:1 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积( C )2RA16 B20 C24 D322 已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于( D )323A2 B. C. D.2233 423 433解析 由题意知 V R3 ，R2，外接球直径 为 4，即正方体的体对角线，设棱长为 a，43 323则体对角线 l a4，a .34333.半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切) 的表面积为_，体积为_【解析】 外切圆柱的底面半径为 R，高 为 2R，S 表 S 侧 2S 底 2R2R2R 26 R2，V 圆柱 R22R2R 3. 【答案

5、】 6R 2；2R 3例 2、已知 A、B、C、D 是球 O 面上的四个点，OA、OB、OC 两两垂直，且OA1,OB2,OC3，求球的体积与表面积。分析：通过将三棱锥补成长方体。这种方法叫作补形法。解：将三棱锥补成长方体，设外接球的半径为 r，则 ，解得 ，2231)(412r所以球 的表面积 S= 142r变式训练：如图所示，三棱锥 P-ABC 中， PA平面 ABC，ABBC，PA=AC= ，则三棱锥 P-2ABC 的外接球的体积为A CBPA. B. C. D. 答案：A. 提示：补成长方体得解 .34832例 3：把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上

6、面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2解：四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点，则正四面体的高36)(2h而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1，且三个球心到桌面的距离都为 1，故第四个球的最高点与桌面的距离为 362例 4.已 知 一 个 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 2 所 示 ，其 中 俯 视 图 是 顶 角 为 的 等 腰 三 角 形 ，120则 该 三 棱 锥 的 外 接 球 体 积 为 答 案 ：

7、.寻 求 球 心 是 关 键 ， 模 仿 圆 心 确 定 的 方 式 ， 来2053确 定 球 心 先 确 定 底 面 的 圆 心 （ 球 的 小 圆 圆 心 ） ，球心必然在过 且垂直于平面 ABC 的垂线上，1O1如图， ，圆 的半径可以通过正弦定理得到 =2，于是球半径为 .12OPAOA5故球体积为 .053高考题演练1.一个四面体各棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A.3 B4 C D 62.正六棱柱 ABCDEFA 1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为 a，则该正六棱柱的外接球的表面积是（ ）A 4a 2 B 5a 2 C8a 2 D10a 2

8、3.长方体三条棱长分别是 AA=1，AB=2，AD=4，则从 A 点出发，沿长方体的表面到 C的最短矩离是（ ）A5 B 7 C D 4.已知底面边长为 1,侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） 5.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2，DAB=60，E 为 AB 的中点，将ADE 与BEC分别沿 ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 PDCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）A B C D 6.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB=6，BC=2 ，则棱锥OABCD 的体积为 7.一个正方体的顶点都在一个球面

9、上，已知这个球的表面积为 3，则正方体的棱长 8.一个正方体的全面积为 a2，它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为 9.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 答案：1.解答： 由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为： 所以球的表面积为：4R 2= =32.解答：

10、 正六棱柱 ABCDEFA 1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为 a，底面对角线的长度为：2a；所以该正六棱柱的外接球的半径为： = 所以该正六棱柱的外接球的表面积是：4r 2= =5a 23.解答：从 A 点出发，沿长方体的表面到 C有 3 条不同的途径，分别从与顶点 A 相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是 ， ，5，比较三条路径的长度，得到最短的距离是 54.D5.解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为 1，故外接球半径为 ，外接球的体积为6.解答： 矩形的对角线的长为： ，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥 OABCD 的体积为： =8 故答案为：87.解

11、答： 球的表面积为 3，球的半径为正方体的顶点都在一个球面上，正方体的对角线为球的直径设正方体的棱长为 a，则 a=18.解答： 设球的半径为 R，则正方体的对角线长为 2R，来源:学+科+网依题意知 R2= a2，即 R2= a2，S 球 =4R 2=4 a2= 故答案为： 9.解答： 长方体的一个顶点上的三条棱长分别 是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为： ，所以球的半径为： ；则这个球的表面积是： =5010.解答：根据几何意义得出：边长为 8 的正方形，球的截面圆为正方形的内切 圆，圆的半径为：4，球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，d=86=2，球的半径为：R= ，R=5球的体积为 （5） 3= cm 3故答案为