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1、 数学补充知识A 微积分初步1 函数及其图形一、函数、自变量和因变量1函数：如果有两个相互联系的变量 和 ，每当变量 取定某个值以后，按照一定的规xyx律就可确定 的对应值，我们就称 是 的函数，记为 y)(xf )(:),( xyf 或间 的 对 应 关 系和表 示是 函 数 记 号（1）同一问题中遇见不同形式的函数时，可以用不同记号表示函数形式，例： ,（2）常见函数举例： axexcbaxfy ,ln2os,1,23)(22自变量和因变量：为自变量。 的变化范围：函数的定义域。xx：为因变量。 所有取值范围：函数的值域。 y物理学中函数与自变量视研究问题而定。例： 中可以有两个变量；但若

2、 VnRTPV一定时， ；或 。)(TPP3常数：上例中： 均为常数ecba,2,1,3a绝对常数：（确定不变的数） ,13b任意常数： 等。任意常数需要通过具体问题确定。常用确定方法：求斜率、c,截距的方法；非线性函数先进行变量变换，线性化后求斜率、截距的方法等。知道了函数的形式以后，即可确定与自变量任一特定值对应的函数值 。例：)(0xf。一般： 时，1)(,2,3)( xfxxfy时若 0023)(xf4以上所介绍的为一元函数，还有二元函数，多元函数。5复合函数：若： ，则称 是 的复合函数，记为 。Z 称为)(),(xgzfyyx )()(xgfy中间变量。例：简谐振动 ， 为中间变量

3、， 的复合函数。tAcostx是二、函数的图形图形优点：直观了解一个函数的特征；通过作图可以拟合物理规律。1平面中的曲线可以表示几何学或物理学中两变量间的函数关系2作图方法： 逐点描迹的方法。给一个 值，求对应的 值，确定（ ） x)(xfyx,实验中，未知函数关系时，测量 ，然后逐点描迹。例：yx, axeycbxy)(双 曲 线 一 支曲 线直 线 变量变换，曲线变直线。例 1： cZYxZcY则令 ,1:,例 2： axeax :ln则令这种方法对于确定任意常数极为方便，是实验中常用方法之一。3二元函数的图形是三维空间中的曲面三、物理学中函数实例：反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与

4、变量之间的函数关系。1匀速直线运动公式 常数v。反映了位置随时间的变化规律。 为任意常数， 为初位)(,0tsvts vs,00s置， 速度， 与坐标原点选择有关， 对每个匀速直线运动有一定值，对不同的匀速直线运动可以取不同的值。2匀变速直线运动公式 )(210tvatvss为任意常数，根据具体问题确定。例：自由落体运动，若取起始位置为坐标原点，s,0则： 。gtvgtt)(,21)(3玻意耳定律：一定质量的气体，在温度保持不变时， CPVCVP)(:)(或4欧姆定律： IRUa若讨论一段导体 中电流随电压关系时，)(一 定 RUI)(b讨论串联电路电压在各电阻元件上分配时， 一定， Ic讨论

5、并联电路电流在各支路分配时， 一定，则：UI)(结论：自变量、因变量与常数，有时从公式本身并不能明确反映不出来，需要由具体问题分析确定。2 导数一、极限：1概念：当变量 无限趋近某一数值 时，函数 的数值无限趋近某x)(00x)(xf一确定的数值 ，则 叫做 时函数 的极限值，记为： a0f axlim0读作：“当 时， 的极限等于 ”。0x)(fa2特例：此例的目的在于说明极限的意义： 123)(xfy，根据中学知识知道，用 0 除以 0，一般无意义。0)(,82,)0(fff而 23x1x123)(xfy0.90.990.9990.9999-0.47-0.0497-0.04997-0.00

6、49997-0.1-0.01-0.001-0.00014.74.974.9974.99971.11.011.0011.00010.530.05030.0050030.000500030.10.010.0010.00015.35.035.0035.0003由表可以看出 时， 。这一特例说明了极限的概念。当然，此题有更为1x5)(f简单的方法，即：23)(23)(xxfy 5)1(f51lim)li211 fxx二、物理学中极限的例子：1瞬时速度（率） （以直线运动为例）（1）平均速率：a一般公式： )()(),( 0010110 tstststts tstv)(00b匀变速直线运动： 20002

7、00 )(1)()(,1)( tatvstsattvst ，tattv1)(0上式说明， 愈小，愈能反映 时刻的情况。0t（2）瞬时速率： , 0时 刻 的 瞬 时 速 率的 极 限 值 叫 物 体 在时把 ttst ttsvtt )(limli 000对匀变速直线运动： 00liavtst2瞬时加速度（实际问题中需要描述速度变化的快慢） )()()( 00010 tvtvtvtttv 定义平均加速度： tta(00对匀变速直线运动： )()(,)( 0000 tavtvav .常 数ttva一般的变速运动 与 有关， 愈小，愈能反映 时刻速度变化的快慢0t瞬时加速度： tvvtatt )(l

8、imli003坡度010110)()( xxhxxh ()001.,)( 0处 坡 度愈 能 反 映愈 小 xkxxhxkhxx )(limli 000三、导数函数的变化率以上三例的特点：反映了函数的变化趋势，变化快慢，变化率。1增量：变量由一个值变为另一个值时，后者减去前者叫增量，用 表示。例：若 ，则自变量增量 ；函数（因变量）：10:),(xxfy变 到由 01x，因变量增量： )()(01fyxf )(0xffy*： 变量增加； 变量减小。,2平均变化率： 自 变 量 的 增 量函 数 的 增 量平 均 变 化 率 xffxy)(003函数 的导数或微商：函数在 这一区间的平均变f对)

9、( xx00到化率在自变量 时的极限值叫 的导数或微商，记为0xfy对)(xfxfy)(limli)( 000也可记为： ,fdx4意义：导数代表函数在某一点（研究点）的变化率*： 本身也可以是 的函数， （即不同的自变量 处变化率不同） ，因此可以再取)(f x它对 的导数，叫做函数 的二阶导数，记为 或 或x)(xfyy)(f2dxy)()(2fdxdf 5物理学中的实例：瞬时速率： 瞬时速率是研究某一时刻的位置对时间的变化)lim(,0tsvtst率。瞬时加速度： 20li dtstdtat 水渠坡度： xhkx0li四、导数的几何意义：如图：研究曲线在 点的切线的斜率。0P)(1xf

10、1pyM)(0xf0x0x0（1）割线与切线为割线，若 沿曲线趋于 点时， 变为 ， 为曲线在 点的切线，0P10P10TP00P此时夹角 一定。（2）斜率：直线与横轴夹角的正切 。xytg（3） 一锐角，曲线上扬， 钝角，曲线下斜， （ 指切线或割线与 轴正向间的夹x角）（4）割线的斜率 xyMPtg01切线的斜率： dftx)(lim导数的几何意义表示了曲线在某点的斜率。它反映了曲线在该点的变化趋势。3 导数的运算一、基本公式：)(0).(1为 常 数C )().(21为 实 数nxnnxcossin3 sico4tg2e).(5 xtgx2).(61)l(l7ax 1ln8axn).(9

11、 xe).(10)(,1.rcsi12 xx1)(ao21)(,)1().(1312 xxarctg.4二、基本运算法则： 则设 ),(,xvu.1 )()(,).(2为 常 量cuvu)0(.32vuvu )(1,)()(.4 yxfxfyx 的 反 函 数 时为 dxufyuf :,)(,.5则即若三、函数的极值点和极值：若函数 在点 附近（即在 某一领域有定义）且x00比在 领域内所有各点的 值都大（或都小） 。)(0xf0)(f极大值 极小值 极值 极大点 极小点极值点极值条件：若函数 在点 附近有连续的导数)(xf0 )(,xf1若 ， 则 在 处取极大值。,0)(f )(xf02若

12、 ， 则 在 处取极小值。)(xf四、微分：自变量的微分：就是自变量一个无限小的增量 ，用 表示 的微分xdxxd函数在点 处的微分：等于函数对自变量的导数乘以自变量的微分，记为x yxydxfdfy)(（1）函数的微分是自变量微分的线性函数。（2）如图 是曲线上两邻点),(),(0010ypxy QdyP1 yP0 Mx点 切 线为 曲 线 在 0001, PQxMPyMQtgxfQtg 000 )(又Ptgxfdy 0)(结论：微分和增量有区别，微分是函数增量的线性主要部分； 部分是非线性yd部分。仅当 足够小时，dxyd例题：例题 1：求 的导数。)(ln为 常 数ay解： xaxx1)

13、(lnll)( 例 2 求 的导数2y解： xxa2)()(2例 3：求 的导数2为 常 数ey解：令： ,xvu2222)( 2xaexdvuy va21axex例 4：求 的导数532y22222 )15(06)15(36)1()3()( xxxxxy例 5：求 的导数。ytg解： .seco1cosin)(cossin)(sincosi 2222 xxxxy 例 6：求 的导数)(ba令： vfybaxvcos)(,)in(ibaxdf 例 7：求 的导数12xy令： 21)(:vfyv则.22 xvdxfy作业：4 不定积分一、原函数例子：一维运动 ，若已知 ，如何求物体的运动坐标？这

14、一dtxvtx),( )(tv问题的实质为：已知某函数的导数，如何求这个函数。1原函数：设 是定义在某一区间上的函数，若存在函数 ，使得在这个区)(f )(xF间上的每个点有)(xfF则称 在该区间的一个原函数。)(xfF是2例： 的一个原函数axa2,2是的一个原函数xcosincos)(sin是3若 的一个原函数，即 ，fF是 )(xfF， 所以 也是 的原函数。可见，只要函)(),)(为 常 数则 cxcxcf数有一个原函数，它就有无限多个原函数，彼此间相差一个常数，可统一用 表示。cxF)(二、不定积分：1不定积分：求函数 的所有原函数叫求函数 的不定积分，记为 。)(xf )(xfd

15、xf)(设 是 的一个原函数，则)(xFfcxFdf)()(称为被积函数； 为积分变量； 称为被积式； ：为积分号； ：积分常)(xf dfc数。*理解：（1） 代表了无穷多个 的原函数，每个相差一个常数，导数均为dxf)(x)(xf（2） 图线叫 的一条积分曲线。xF)()(xf（3） ：积分曲线族。 确定处，所有曲线斜率c),()(xfcF在相等。2不定积分的性质：（1） 先作不定积分，再求导，仍为 ， （积分求导为)()(xffdxf )(xf互逆运算）（2） 先求导，再积分，只差一个常数。 )()()(FcF对对一个函数的导数积分，得到这个函数与一个常数之和。结论：求不定积分与求导互为逆运算。3基本积分公式见 P412413三、不定积分的运算法则： .)()(.1是 不 为 零 的 常 数kdxfkxfdxgg)(2若能找到函数 使得 ，则只要求出,)(.3xf对 于 udugf)()(，即可得 ， （换元法）可以把一些比较复杂的cuFdg)( cxFxf)(积分换成基本积分表中给出的现成结果。四、例题：例 1：求 dxux)(,或解：令 u cxcdx)1ln(l1例 2：求 不 为 零为 常 数 abae,)si(解： dxdxebx )si(n1ced