1、第五章 几何学的发展形的认识形是人类对生存空间形式的直接认识从无规则图形逐渐制造出一些规则的形体，形成抽象意义下的几何图形。图 5.1由鱼形演化出的不规则的几何图形从立体图形到平面图形图腾崇拜和宗教礼仪5.2 测量与几何在几何发展最早的古代埃及，几何一词具有 “土地测量 ”的含义。在古希腊几何学传入中国之后，汉字用几何一词来称谓这门学科，而汉语中 “几何 ”具有 “多少 ”的意思。5.2.1 经验公式古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积的方法三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示圆面积的计算公式是 A = (8d/9)2，其中 d是直径。这就等于取 为 3.1605。四边形的面积公式：（ a
2、+ c）（ b + d） /4（其中 a、 b、 c、 d依次表示边长）。高为 h、底边长为 a和 b的方棱锥的平头截体的体积公式：V = (1/3) h (a2 + ab +b2)5.2.2 求积方法勾股术与图证 插入图 5.5 “ 析理以辞，解体用图 ” “ 弦图 ” 插入图 5.7 大方 = 弦方 + 2矩形， （ 1）大方 = 勾方 + 股方 + 2矩形， （ 2）比较（ 1）与（ 2），得弦方 = 勾方 + 股方。阿基米德的双重方法 用力学原理发现公式，再用穷竭法加以证明 插入图 5.11 如图 5.11抛物线有内接三角形 PQq，其中 P与 Qp中点 V的连线平行于抛物线的轴。阿基
3、米德从物理的方法发现：抛物线被 Qp截得的抛物线弓形的面积，与三角形 QPq的面积之比是 4： 3。阿基米德进而使用穷竭法证明5.2.3 多边形数插入图 5.12 插入图 5.13 插入图 5.14 最早的演绎几何学 几何原本 （约公元前 300年，古希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学理论体系 几何学。标志着人类科学研究的公理化方法的初步形成， 几何原本 共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我们今天熟知的平面几何和立体几何的知识，其余各卷则是数论和（用几何方法论证的）初等代数知识。全书证明了 465个命题。5.3.1 原本 的公理化体系 原本 的公理化体系：全书先给出若干条定义和
4、公理，再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理 (465个命题 )。使整个几何知识形成了一个演绎体系公设：（ 1） 从任一点到任一点作直线是可能的。（ 2） 把有限直线不断循直线延长是可能的。（注意，这里所谓的直线，相当于今天我们所说的线段。）（ 3） 以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的。（ 4） 所有直角彼此相等。（ 5） 若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点（现今称为平行公理）。公理： （ 1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。（ 2） 等量加等量，总量仍相等。（ 3） 等量减等量，余量仍相等。（ 4） 彼此重合的东西是相等的。（ 5） 整体大于部分。从现代公理化方法的角度来分析， 原本 的公理化体系存在着以下一些缺陷。没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上 原本 的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念 . 但是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的例如 , 每一个三角形都是等腰的 “ 证明 ” 插入图 5.18
