1、第二篇 竞赛数学的主要内容第三章 数论 3 1 整数的奇偶性和整除性 3 2 同余 3 3 不定方程 3 4 高斯函数 x Date 1第三章 数 论第三章 数 论3 1 整数的奇偶性和整除性一、整数的奇偶性1、偶数 +偶数 =偶数；奇数 +奇数 =偶数；奇数 +偶数 =奇数2、 a,b为整数，若 ab为偶数，则 a,b的奇偶性相同；若 ab为奇数，则 a,b的奇偶性相反。3、奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数。4、奇数 奇数 =奇数；偶数 偶数 =偶数；奇数 偶数 =偶数 性质性质Date 2第三章 数 论第三章 数 论3 1 整数的奇偶性和整除性一、整数的奇偶性5、任意 n个奇数的
2、积仍是奇数，奇数的 n次幂是奇数。若 n个数的积为奇数，则这 n个数均为奇数。6、若任意有限个整数中至少有一个偶数，那么它们的积是偶数；反之，任意有限个整数之积是偶数，则这些因数中至少有一个偶数。 7、 若 a,b为整数，则 a+b与 a-b奇偶性相同性质性质Date 3第三章 数 论第三章 数 论 3 1 整数的奇偶性和整除性一、整数的奇偶性例 1.在 1, 2, 3, , 1999 这 1999 个数的前面任意添上正号或负号 , 问它们的代数和是奇数还是偶数 ?例 2.设 a1 , a2 , , an 是自然数 1, 2, , n 的一个排列 , 若 n 为奇数 ,求证 : ( a1 -
3、1) ( a2- 2) ( an- n) 为偶数。例题例题Date 4第三章 数 论第三章 数 论 3 1 整数的奇偶性和整除性一、整数的奇偶性例题例题例 3.设 n个整数 a1 , a2 , , an 的积等于 n，其和为 0. 证明： 4|n.例 4.设 n个数 x1 , x2 , , xn ,它们中的每一个要么是 1，要么是 -1.若 x1 x2 +x2 x3 + +xn-1 xn+xn x1=0 .证明： 4|n.Date 5第三章 数 论二、整数的整除性3 1 整数的奇偶性和整除性1. 整除的定 义 ： 对 于两个整数 a、 b(b0 ），若存在一个整数 c，使得a=bc 成立， 则
4、 称 b整除 a，或 a被 b整除， 记 作 b|a。 a叫做 b的倍数， b叫做 a的 约 数（因数）。 若满足 的整数 c不存在，就称 a不能被 b整除，或 b不能整除 a，记作 b a，如 2|6， 4 6。定义定义Date 6第三章 数 论2、整除的性质3 1 整数的奇偶性和整除性性 质 1 a,b,c为 整数，1） a|a;2） 若 c|b， b|a， 则 c|a ;（传递性）3）若 a|b， a|c， 则 a|（ ma+nb）， m、 n为 任意整数 .性 质 2 等式中除某一项外，其他所有项都能被 m整除，则这一项也能被 m整除。性 质 3 1)若 a|bm，且（ a， b） =
5、1，则 a|m；2) 若 a|m， b|m，且（ a， b） =1，则 ab|m；3) 若 p为质数，且 p|ab ，则 p|a，或 p|b。性质性质二、整数的整除性Date 7第三章 数 论3 1 整数的奇偶性和整除性连续整数之积的性质 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被 2整除。 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是 3的倍数，所以它们之积一定可以被 2整除，也可被 3整除，所以也可以被 23=6整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。 二、整数的整除性2、整除的性质 性质性质Date 8第三章 数 论3 1 整数的奇偶性和整除性例 10. 设 p是大于 5的素数，求证： 240|p4-1.例 11. p5是素数，且 2p+1也是素数，证明：4p+1必是合数 。例题例题二、整数的整除性Date 9第三章 数 论3 1 整数的奇偶性和整除性1.证明：不定方程 x2+y2=1983无整数解 .3.能否找到 10个奇数，使它们的倒数和等于 1？练习练习二、整数的整除性4. 方程 ax2+bx+c=0，其中 a、 b、 c都是奇数，证明此方程无整数解 .作业作业Date 10第三章 数 论
