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2019届惠州一调数学(理科)试题-及答案.doc

1、 第 1 页,共 9 页惠州市 2019 届高三第一次调研考试理科数学 2018.07一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1 )复数 的共轭复数是( ) (A) (B) (C) (D)52i2i2i2i2i(2 )已知集合 , ,若 ,则实数 的取值集合为( )(A) 21Mx1NxaNMa1(B) (C) (D) ,0,0(3 )函数 的最小正周期为 ,则 ( )22()cosin+fxx=(A) (B) (C) (D) 2112(4 )下列有关命题的说法错误的是( )(A)若“ ”为假命题,则 与 均为假命题;pqpq(B)“ ”是“ ”的充分不必要条件;1x

2、x(C)若命题 ,则命题 ;200R: , 2R0x: ,(D)“ ”的必要不充分条件是“ ”.sinx6(5 )已知各项均为正数的等比数列 中, , , , 成等差数列,则数列 的前na132a54na项和 ( )nS(A) (B) (C) (D)2112n12n2n(6 ) “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的 一个和谐优美的几何体。它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖) 。其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。当其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是( )(A) (B) (C

3、) (D)(7 )若函数 , ( ,且 ) ,且 ,则函数 ,2()xfa()log|ax01a(2)0fg()fx在同一坐标系中的大致图象是( )gx第 2 页,共 9 页(A) (B) (C) (D)(8 )对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如下表所示的数据.观测次数 i1 2 3 4 5 6 7 8观测数据 ia40 41 43 43 44 46 47 48在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中 是这 8 个数据的平均数),则输出的 的值是( )S(A) 6 (B) 7 ( C) 8 (D) 9 (9 )已知 和 分别是双曲线 的两个焦点,1F2

4、 210,xyab和 是以 为圆心,以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,ABO1F且 是等边三角形,则该双曲线的离心率为 ( )2(A) (B) (C) (D) 23+13131(10 )已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 ,则这个四棱锥外接球的表面积为( )2(A) (B) (C) (D) 108723612(11 )已知函数 ,若 且 对任意 恒成立,则 的最大值为( ()lnfxxkZ()(xfxk)(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6(12 )设抛物线 的焦点为 ,过点 的直线交抛物线于 两点,与抛物线准线交于点 ,2yxF2,0,ABC若 ,则 ( ) (A) (B)

5、4 (C) 3 (D) 25ACFBS3二填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。(13 )若实数 x,y 满足的约束条件 ,则函数 的最大值是 10xy2zxy输出 S结束输入 iai=1是开始 2()iSi= i +1S=0i 8 ? 否S = S / 8第 3 页,共 9 页(14 )已知向量 (2,1)(,)abx,且 ab与 共线,则 的值为 x(15 )某公司招聘 5 名员工,分给下属的甲、乙两个部门,其中 2 名英语翻译人员不能分给同一部门,另 3 名电脑编程人员不能都分给同一部门,则不同的分配方案种数是 (16 )已知数列 是公差不为 0 的等差数列,对任意大于 2 的正整数

6、 ,记集合na n的元素个数为 ,把 的各项摆成如图所示的三角,1ijxNjijnnc形数阵,则数阵中第 17 行由左向右数第 10 个数为_ 3c4567891012三解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17 ) (本小题满分 12 分)在 中,锐角 满足 .ABC25sincos32C(1 )求角 的大小;(2)点 在 边上, , , ,CP3PAB7in38AP求 的面积。AB(18 ) (本小题满分 12 分)如图,直四棱柱 的底面是菱形,侧面是正方形, , 是棱 的1DCBA 06DABECB延长线上一点,经过点 、 、 的平面交棱 于点 , 1E1FB21(

7、1)求证:平面 平面 ;1(2)求二面角 的平面角的余弦值CA1(19 ) (本小题满分 12 分)如图,椭圆 E: 经过点 ,且离心率为 210xyab,1A2B1A1CF1DE第 4 页,共 9 页(1)求椭圆 E 的方程;(2)经过点 ,且斜率为 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P,Q (均异于点 A) ,,1k证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值(20 ) (本小题满分 12 分)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司底薪 70 元,每单抽成 2 元;乙公司无底薪,40 单以内 (含 40 单)的部分每单抽成 4 元,超出 40 单的部分每单抽成 6 元假设同一公

8、司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其 100 天的送餐单数,得到如下频数表:(1 )现从甲公司记录的这 100 天中随机抽取两天,求这两天送餐单数都大于 40 的概率;(2 )若将频率视为概率,回答以下问题:()记乙公司送餐员日工资为 (单位:元), 求 的分布列和数学期望; XX()小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.(21)(本小题满分 12 分)已知函数 ,2xfxeaR(1)试确定函数 的零点个数;fx(2)设 , 是函数 的两个零点,证明: 12 12x(22 ) (

9、本小题满分 10 分)在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ,半径 ,43r甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 20 20 40 10第 5 页,共 9 页(1 )求圆 C 的极坐标方程;(2)若 ,直线 的参数方程为 ( 为参数) ,0,4l2cosinxtyt直线 交圆 C 于 A、B 两点,求弦长 的取值范围l AB惠州市 2019 届高三第一次调研考理科数学参考答案一、选择题:题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C

10、 D A B A B C C B D(5 ) 【解析】A ;设 的公比为 ,则 , , ,naq5342a233aqaq23q或 (舍) , ;2q 1121nnnS(6 ) 【解析】B;因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合在一起的方形伞,所以其正视图和侧视图是一个圆。俯视图是从上向下看,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,所以俯视图是有 2 条对角线且为实线的正方形,故选 B;(7 ) 【解析】A ;由题意 是指数型的, 是对数型的且是一个偶函数,由2xfalogax,可得出 ,故 ,故 ,由此特征可以确定 C、D 两选项0fg0glo20a1不正确,且 是一个减函数,由此知

11、 B 不对,A 选项是正确答案,故选 A;2xf(10 ) 【 解析】C;可求出正四棱锥的高为 3设其外接球的半径为 ,则由两者的位置R关系可得 ,解得 ,所以 故选 C.223RR2436S(11 ) 【 解析】B ;考虑直线 与曲线 相切时的情形。()ykx()yfx设切点为 ,此时 ,()mf, ) 02fm即 ,化简得: ,ln2l4ln0设 ,由于 , 。()4g22()gee33()42ln0ge故 ,所以切线斜率 的取值范围是 ,又 , ,选 B;23em=lkfm4,5kZmax(12 ) 【 解析】D;设直线 , ,将直线方程代入抛物线方程得::2lyx12,AyBx,由韦达

12、定理得: ,分别过点 作准线的垂线22410kxk,AB,垂足分别为点 , ,即1,AB1,B1125ACFFSxB,解得 , ,故选 D。二、填空题:(13) (14 ) 12530x1x232(15 ) (16) 23第 6 页,共 9 页(15 ) 【 解析】由题意可得,有 2 种分配方案:甲部门要 2 个电脑编程人员,则有 3 种情况;两名英语翻译人员的分配有 2 种可能;根据分步计数原理,共有 32=6 种分配方案甲部门要 1 个电脑编程人员,则有 3 种情况电脑特长学生,则方法有 3 种;两名英语翻译人员的分配方法有 2 种;共 32=6 种分配方案由分类计数原理,可得不同的分配方

13、案共有 6+6=12种。(16 ) 【 解析】设 ,则 ,由题意 ,当 ,1nad12ijaijd1ijn1i时, 取最小值 1,当 , 时, 取最大值 ,易知 可2jij n232j取遍 ,即 .数阵中前 16 行共有 个数,所1,3, 3nc6以第 17 行左数第 10 个数为 。14829三、解答题:(17)解析:(1) , 5sincos32C51cos23C2 分, ,4 分13coss2i2C3cos6又 , . 6 分766(2 )由(1 )可知 为等边三角形,且 ,AP3APB在 中, ,即 , , 9 分B2sinsi3257sin819AB,即 , ,22coAPAPB 2

14、193P2P故 , 11 分 12 分35BC 53sinABCS(18 ) ( 1)设四棱柱 的棱长为 , , , 1DCa12F1FBE2a由 , ,得 , 2 分 ,06DABE02AB3E3a3C , 是直四棱柱, ,又22EC1ABCD1ABD, , , 平面 4 分 平11C1BE面 ,1A平面 平面 5 分1AE1B第 7 页,共 9 页(2)以 为原点, 、 所在直线为 轴、 轴,平行于 的直线 为 轴建立空间直ECEAxy1B1Ez角坐标系,则 , , 7 分(0,)3(,0)2a1(,)2Ca设平面 的一个法向量为 ,则 即 ,1EAC (,)npqr13 02nEAqap

15、r320qpr不妨取 , 由(1)知 , ,平面 的一个法向量为 (2,03)n1(,0)2Ba3(,0)D1BC二面角 的平面角的余弦值1(,)BDa1EAC1| |3cosn(19)解:(1)由题意知 ,b1, ,所以椭圆 E 的方程为 422a2xy分(2)证明:设直线 PQ 的方程为 yk(x1)1( k2),代入 ,21xy得(12k 2)x2 4k(k1)x 2k( k2) 0,由题意知 0,设 P(x1,y 1),Q (x2,y 2),且 x1x20,则 , , 6 分1224xk122kx所以 9 分1 1212 2Ak xk故直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 2 12

16、分42(20 )解:( 1) 记“抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 ,则 ;4 分M2019()45CP(2 ) ()设乙公司送餐员送餐单数为 ,则a当 时, ; 当 时, ; 38a4152X39456X当 时, ;当 时, ;40604101当 时, 所以 的所有可能取值为 152,156 ,160,166,1726 分27故 的分布列为 :X152 156 160 166 172第 8 页,共 9 页P10512510 8 分12()526676050EX()依题意, 甲公司送餐员日平均送餐单数为 38.9.4.210.4.1395所以甲公司送餐员日平均工资为 元 11 分7由()

17、得乙公司送餐员日平均工资为 元因为 ,故推荐小明去乙公司应聘12 分662(21 )解:( 1)由 得 ,令 ,fxxaexge函数 的零点个数即直线 与曲线 的交点个数,y1 分21xxxge如图,由 得 ,函数 在 单调递增,0g,1由 得 ,函数 在 单调递减。,当 时,函数 有最大值, 3 分1xgxmaxe又当 时, , ,当 时,20220gx当 时,函数 没有零点;当 或 时,函数 有一个零点;aef f当 时,函数 有两个零点。 6 分0x(2 )证明:函数 的零点即直线 与曲线 的交点横坐标,fya2xgxe由(1)知 ,不妨设 ,得 ,a1221函数 在 上单调递增,在 上

18、单调递减,2xgxe,函数 在 单调递减,在 上单调递增;f要证 ,只需证 ,只需证 , 8 分121212fxfx又 ,即要证 0fx0fx由 得 2ag 2222 1xxxeaee构造函数 ,则 , 10 分xhe1h当 时, , ,即函数 在 上单调递减, ,1x2x0h,0h即当 时, ,即 . 12 分2f12x(22 )解:( 1)点 C 的直角坐标为 ,圆 C 的直角坐标方程,4,为 223xy化为极坐标方程是 4 分cosin10第 9 页,共 9 页(2 )将 代入圆 C 的直角坐标方程 , cos2inxty 2213xy得 ,即 6 分2113t2cosin0t , 7 分2cosi12 9 分1124sin2ABttt , , 即弦长|AB|的取值范围是 10 分0,40,3AB2,3综上,原不等式的解集为 10 分6,5

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