1、 第 10章 分析的严格化 第十章 分析的严格化 10.1 柯西与分析基础 经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到 19世纪初开始获得成效这方面的先声来自 捷克学者波尔察诺 (B.Bolzano，17811848) ， 他在 1817年发表了 纯粹分析证明 ，以证明连续函数的中值定理为目的，其中包含了 对函数连续性、导数等概念的合适定义 ，但波尔察诺的工作长期湮没无闻 19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学家柯西 柯西长期担任巴黎综合工科学校教授，他有许多著作都是以工科大学讲义形式面世的在分析方法方面，他写出了一系列著作，其中最有代表性的是 分析教程 (18
2、21)和 无限小计算教程概论 (1823)，它们以严格化为目标，对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理 什么叫数学概念？什么叫数学里面的定义？什么叫数学概念？数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念 的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理，数学家们拓展了这些概念。什么叫数学里面的定义？ 数学概念 (mathematical concepts)：是人脑对现实对象的数量关系和空间形式
3、的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵 对象的 “质 ”的特征，及其 外延 对象的 “量 ”的范围。一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。 有些数学概念要经过长期的酝酿，最后才以定义的形式表达，如函数、极限等。定义是准确地表达数学概念的方式。 下面欣赏柯西给出的一些定义：以下是这方面的一些例子： 1.变量 .“依次取许多互不相同的值的量叫作变量 ” 2.函数 .“当变量之间这样联系起来的时候，即 给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其他变量的值的时候 ，人们通常想象这些量是用 其中的一个来表达的 ，这时这个量
4、就取名为 自变量 ，而由这些自变量表示的其他量就叫作这个自变量的函数 ”3.极限 .“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使 它的值与该定值的差 要 多小就多小 ，那么最后这个定值就称为 所有其他值的极限 ” 4.无限小量 .“当同一变量逐次所取的绝对值无限减小，以致比任意给定的数还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量 ” 5.连续函数 柯西第一次解决了函数连续性的定义问题按他的定义，函数 在给定限之间关于 保持连续，如果在这两限之间变量的每个无限小增量总产生函数 本身的一个无限小增量 6.导数与微分 柯西把导数明确定义为差商 当 无限地趋向于零的极限，函数的微分则定义 为 . 7.积分柯西首先指出，在研究积分或原函数的各种性质以前，应先证明它们是存在的也就是说需要首先对一大类函数给出积分的一般定义设函数 在给定区间 上连续，并用点 把区间 划分为 个子区间，对应于每个这样的划分，构造近似和： 问：你能简单的总结一下这个过程吗？柯西证明这个和数当区间长 趋向于零时的极限与划分的方式无关，并把这个极限定义为 在区间 上的积分 这个定义后来被黎曼直接推广，将每个区间端点 用区间内任一点 来代替，就得到现在所说的黎曼积分 分割 -近似 -作和 -取极限。
