1、2 线性空间的定义线性空间的定义 与简单性质 与简单性质 3 维数维数 基与坐标基与坐标4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换1 集合集合 映射映射 5 线性子空间线性子空间7 子空间的直和子空间的直和8 线性空间的同构线性空间的同构6 子空间的交与和子空间的交与和第六章第六章 线性空间线性空间引言线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广 我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为 n维向量，定义了 n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关
2、性，完满地阐明了线性方程组的解的理论引言现在把 n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域 , 同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义 .首页 返回 上页 下页 结束 一、集合一、集合二二 、映射、映射 6.1 集合集合 映射映射首页 返回 上页 下页 结束 一、一、 集合集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做 集合 ；常
3、用大写字母 A、 B、 C 等表示集合；当 a是集合 A的元素时，就说 a 属于 A， 记作： ； 当 a不是集合 A的元素时，就说 a不属于 A， 记作： 1、定义、定义组成集合的这些事物称为集合的 元素 用小写字母 a、 b、 c 等表示集合的元素 首页 返回 上页 下页 结束 关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明集合论的创始人是 19世纪中期德国数学家康托尔（ G Cantor）， 他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的 ,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果 ;集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性 .
4、注 :首页 返回 上页 下页 结束 集合的表示方法一般有两种： 描述法 、 列举法 描述法 ：给出这个集合的元素所具有的特征性质 .列举法 ：把构成集合的全部元素一一列举出来 .例 1例 2 N ， 2Z 例 3M x | x具有性质 P M a1， a2， ， an首页 返回 上页 下页 结束 2、集合间的关系、集合间的关系 如果 B中的每一个元素都是 A中的元素，则称 B是A的 子集 ，记作 ，（读作 B包含于 A）当且仅当 空集 ：不含任何元素的集合，记为 注意 ： 如果 A、 B两集合含有完全相同的元素，则称 A与B相等 ，记作 A B .A B当且仅当 且 约定： 空集是任意集合的子集合 .首页 返回 上页 下页 结束 3、集合间的运算、集合间的运算 交 ： ； 并 ： 显然有，1、证明等式 : 证：显然， 又 ， ， 从而 , 练习： 故等式成立首页 返回 上页 下页 结束 2、已知 ， 证明： 又因 ， 又因 ， 证 ： 1） 此即，因此无论哪一种情况，都有 . 此即， 但是
