1、 1 / 6常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：添加或舍去一些项，如： ；a12 n)1(将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，如： ；4lg6l5lg)2l3g(5l 2)1()(nn二项式放缩: , ,nnnC10)(2 10n210Cn )2(5)利用常用结论：. 的放缩 ：1k 1kk. 的放缩(
2、1) ： （程度大）2 21()(). 的放缩 (2)： （程度小）k2()kkk. 的放缩(3)： （程度更小）2141()12. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质: 和)0,(mab)0,(mba记忆口诀“小者小,大者大” 。 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之亦然.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例： ，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()1xf。()()fabf一 先求和再放缩例 1. ,前 n 项和为 Sn ，求证：)1(n 1ns例 2. , 前 n 项和为 Sn ，求证：na)31(21ns2 / 6二 先放缩再求和 （一）放缩后裂项相消例 3数列 ， ，其
3、前 项和为 ，求证：na1()nns2ns（二）放缩后转化为等比数列。例 4. 满足：nb21,()3nnbb（1） 用数学归纳法证明：（2） ，求证：1231.3n nT 12nT三、裂项放缩例 5.(1)求 的值; (2)求证: .nk1243512nk例 6.(1)求证: )2(167)2(15312 nn(2)求证: 464(3)求证： )(3)(3 / 6例 7.求证: 35194)12(62nn例 8.已知 , ,求证: .na24naT21 23321nT四、分式放缩姐妹不等式: 和)0,(mab)0,(mba记忆口诀”小者小,大者大”解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,
4、反之亦然.例 9. 姐妹不等式: 和12)()513(n也可以表示成为2)614(2n和53n 4例 10.证明: .13)21()741)( n4 / 6五、均值不等式放缩例 11.设 求证.)1(321nSn .2)1(nS例 12.已知函数 ，a0,b0,若 ，且 在0，1上的最大值为 ，bxaf21)(54)1(f)(xf 21求证： .2)(nf六、二项式放缩, ,nnnC10)(2 120n210Cn )2(例 13.设 ，求证 .N, )(83n例 14. , 试证明： .na3212144nna5 / 6七、部分放缩(尾式放缩)例 15.求证: 7412313n例 16. 设 求证：an21.2,3an .n八、函数放缩例 17.求证： .)(653ln4l32ln*Nn例 18.求证: )2(1ln3l2n, 2n例 19. 求证: nn12)1l(3126 / 6九、借助数列递推关系例 20. 若 ,求证:1,1na)1(21na例 21.求证: 12642)(5314231 n十、分类放缩例 22.求证: 21321n
