抽杀问题 约瑟夫问题.doc

1、阅读材料世界名题与小升初之：抽杀问题（約瑟夫问题）-马到成功老师在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。先给大家介绍这一问题的由来。 据说著名犹太历史学家 Josephus 有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特後，39 個犹太人与 Josephus 及他的朋友躲到一個洞中，39 個犹太人決定宁愿死也不要被人抓到，于是決定了一个自杀方式，41 個人排成一个圆圈，由第 1 個人开始报数，每报数到第 3 人该人就必須自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而 Josephus 和他的朋友

2、并不想遵从，Josephus 要他的朋友先假装遵从，他將朋友与自己安排在第 16 個与第 31 個位置，于是逃过了这场死亡游戏。解法約瑟夫问题可用代数分析來求解，将这个问题扩大好了，假设现在您与 m 个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您的朋友？只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆内圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示： 使用程式来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在陈列中由计数 1 开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直接计数 來求解的話，只要將阵列当作环状来处理就可以了，在阵列中由計数 1 开始，每找到三个无资料区就填入一个計数，直而計数达 41为止

3、，然后將阵列由索引 1 开始列出，就可以得知每个位置的自杀順序，这就是約瑟夫排列，41 個人报数 3 的約瑟夫排列如下所示：14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23由上可知，最后一個自杀的是在第 31 个位置，而倒数第二个自杀的要排在第 16 个位置，之前的人都死光了，所以他们也就不知道約瑟夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。小升初常见抽杀考题例举：例 1：把 1999 这 999 个自然数按顺时针的方向依次排列

4、在一个圆圈上（如下图）。从1 开始按顺时针的方向，保留 1，擦去 2；保留 3，擦去 4这样每隔一个数擦去一个数，转圈擦下去。问：最后剩下一个数时，剩下的是哪个数？马到成功解析：可通过找规律得出，如果有 2n个数，那么转一圈擦去一半，剩下 2n-1个数，起始数还是 1；再转一圈擦去剩下的一半，又剩下 2n-2个数，起始数还是 1转了 n 圈后，就剩下一个数是 1。如果有 2n+d（d2n）个数，那么当擦去 d 个数时，剩下 2n个数，此时的第一个数是最后将剩下的数。因为擦去的第 d 个数是 2d，所以 2d+1 就是最后剩下的整数。999=2 9+487，最后剩下的一个数是 4872+1=97

5、5。例 2：1000 个学生坐成一圈，依次编号为 1，2，3，1000。现在进行 1，2 报数：1 号学生报 1 后立即离开，2 号学生报 2 并留下，3 号学生报 1 后立即离开，4 号学生报 2 并留下学生们依次交替报 1 或 2，凡报 1 的学生立即离开，报 2 的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。问：这个学生的编号是几号？分析：这个问题与上面这题非常相似，只不过本例是报 1 的离开报 2 的留下，而上题相当于报 1 的留下报 2 的离开，由上题的结果可以推出本例的答案。本例中编号为 1 的学生离开后还剩 999 人，此时，如果原来报 2 的全部改报 1 并留下，原来报 1

6、的全部改报 2 并离开，那么，问题就与上面这题完全一样了。因为剩下 999 人时，第 1 人是 2 号，所以最后剩下的人的号码应比上题大 1，是 9751=976（号）。为了加深理解，我们重新解这道题。解：如果有 2n个人，那么报完第 1 圈后，剩下的是 2 的倍数号；报完第 2 圈后，剩下的是22的倍数号报完第 n 圈后，剩下的是 2n的倍数号，此时，只剩下一人，是 2n号。如果有（2 nd）（1d2 n）人，那么当有 d 人退出圈子后还剩下 2n人。因为下一个该退出去的是（2d1）号，所以此时的第（2d1）号相当于 2n人时的第 1 号，而 2d 号相当于 2n人时的第 2n号，所以最后剩

7、下的是第 2d 号。由 1000=29488 知，最后剩下的学生的编号是 4882=976（号）。例 3：有 100 张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？分析与解：这 100 张卡片如果用线串起来，其实还是一个围成一圈的约瑟夫问题。如果上面几题的解法看不太懂，可学学这题，从最简单的情况开始找规律。下面从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：设 这一摞卡片的 张数

8、为N，观察上表可知：（1）当 N=2a（a=0，1，2，3，）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第 2a 张；（2）当 N=2a+m（m2a）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第 2m 张。取 N=100，因为 100=26+36，236=72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第 72张。总结上题及例 1 例 2：可归纳为两种情况：1、 留 1，杀 2 类：剩下号（总数小于总数最大的 2 的次方数）212、 杀 1，留 2 类：剩下号（总数小于总数最大的 2 的次方数）2记住留 1 要加 1，杀 1 不用加 1，总发现有学生在这点上分辨不清。因此可对照：例 1：为“留 1”类

9、，可用：（999512）21975例 2：为“杀 1”类，可用（1000512）2976例 3：为“杀 1”类，可用（10064）272上面的 512,64 都是小于总数的最大的 2 的次方数。再看一道经变化的逆推题：例 4：如下左图,七枚棋子围成一个圆圈,从开始,每隔一个取一个,依次取走、,最后剩下.二十枚棋子围成一个圆圈(如右图),从 开始,每隔一个取一个,最后将只剩下一枚棋子是.实际上例就是抽杀问题的“杀 1 留 2 类” ，右图可假设先从 1 开始取起，那根据规律留下的为：（2016）28 号，想留下 6 号得逆时针倒推 2 枚棋子。则最后结果为 19 号开始。 试试我们玩的扑克牌：例

10、 5：有两副扑克牌，每副牌的排列顺序均按头两张是大王、小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列。每种花色的牌又按 1，2，3，J,Q,K 顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，.如此进行下去，直至最后只剩下一张牌。试问所剩的这张牌是哪一张？解：注意到：如果手中只有 64 张牌，按这样规则丢牌，那么后剩下的应该是第 64 张牌。现在手中有 108 张牌，多出 1086444 张，我们只需按此规定丢掉 44 张后，把 88 张牌放在手中牌的最底层时，这时手中牌恰为 64 张。这样，再丢下去，最后留下的就

11、是原牌顺序的第 88 张，接下来的难点就涉及周期问题了，是哪张牌呢？先去掉一副，再去掉黑桃、红桃各十三张，即为 88-54-2266。按照花色排列应为方块 6。来个再难点的三个数一组的题：例 6：连续自然数 1，2，3，8899 排成一列。从 1 开始，留 1 划掉 2 和 3，留 4 划掉 5和 6这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？可仿例 1 与例 2。这道题留 1 划 2 和 3，每次留下三分之一，显然与 3 的 N 次方有关了。当有 3n个数时，留下的数是 1 号。小于 8899 的形如 3n的数是 38=6561，故从 1 号开始按规则划数，划了 8899-6561=2338（个）数

12、后，还剩下 6561 个数。这划去的数中的最后一个 233823=3507，故最后留下 6561个数中的第一个就是 3508。这道题也可归纳出一个规律：“留 1，杀 2,3”型留下的这个数为（总数小于总数的最大的 3 的次方数）231考一考：连续自然数 1，2，3，8899 排成一列。从 1 开始，划掉 1 和 2，留下 3，划掉4 和 5 留下 6这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？这道题可定为“杀 1，2 留 3”型，其中的规律与答案就留给你自己去研究了。另外在最前面约瑟夫的介绍中的类型可说成为“留 1、2 杀 3 型”你探索一下这道题有什么规律。最后见识一下隐形抽杀问题：例 7：在纸上写

13、着一列自然数 1，2，99，100。一次操作是指将这列数中最前面的两个数划去，然后把这两个数的和写在数列的最后面，例如一次操作后得到3，4，99，100，3；而两次操作后得到 5，6，99，100，3，7。这样不断进行下去，最后将只剩下一个数。问：最后剩下的数是多少？最初的 100 个数连同后面写下的数，纸上出现的所有数的总和是多少？马到成功解析：在每次操作过程中，数列中添加的数等于划去的两个数之和，因此数列中所有数的和保持不变，于是当最后只剩下一个数时，它就是原来的 100 个数之和，为1+2+99+100=5050。当数列中有 2n 个数时，经过 n 次操作后将被全部划去，同时出现 n 个

14、新数，并且这n 个新数之和等于原来 2n 个数的和。这提示我们去考虑数列包含 2，2 2，2 2 2，项的时刻。6 个 2 连乘是 64，当经过 100-64=36 次操作后，原来的数 1，2，71，362=72被划去，划去的数的和是 1+2+71+72=2628。此时数列中共有 64 个数，并且这 64 个数的和与原来 100 个数的和相等，是 5050。从该时刻起，依次再经过 32，16，8，4，2，1 次操作后，纸上出现的新数的个数依次为 32，16，8，4，2，1。根据前面的分析，每一轮出现的所有新数的和都是 5050。从数列中有 64 个数变为只有 1 个数，操作共进行了 6 轮。 综上所述，纸上写出的所有数之和为 2628+5050+50506=37978。学会了抽杀问题的思路再来理解这题的设计就比较容易了。