1、单元小结第一章 整数的整除性 定义 1.1 设 a， b Z ， b0 ， 如果存在 q Z ， 使得等式 a bq成立我们就说， a能 被 b整除或 b整除 a ，记作 b | a 如果整数 q 不存在 ( 即对任何整数 q， 恒有 bq a ),那么就说 a不能被 b 整除 (或者说 b不能整除 a)，记作 b a。1.1整除1、整除的概念：如果整数 a 能被整数 b (b 0) 整除 (即 b | a)，那么 a就叫做 b 的 倍数 ， b就叫做 a的 约数 .l 2、当然约数与真约数 :一般地，在整数 a的约数中 l与 a叫做整数 a的 当然约数 ；除 1与 a之外， a的其它约数叫做
2、 a的 真约数 (或非当然约数 )。(5) x, y为任意整数，若 a b , a c , 则 a (bx+cy)；(6) 若 m0, 则 a b 的充分必要条件是 ma m b (7) 若 a b , b a， 则 a = b (8) 若 a ， b N+, a b , 则 a b (9) 若 a是 b的真约数，则 1 a b 4、整除的基本性质 :4、带余除法 设 a, b是两个整数， b 0，则一定 有并且只有 两个整数 q , r 使得 a= bq + r,0r b 成立，而且 q与 r是唯一的 求两个数的不完全商 q和余数的运算叫做带余除法运算 (或有余数除法运算 )n整除可以看作是
3、带余除法中余数为零的特殊情况即 a bq+r且 r 0 a bq. 1、奇数与偶数的定义 :根据整除概念我们把能被 2整除的整数叫做偶数，不能被 2整除的整数叫做奇数，它们的一般表示式为：偶数 N=2n(n为整数 )，奇数 N 2n+l(n为整数 )二、 奇数与偶数2、奇数与偶数具有下面性质： 性质 1 (关于偶数 ) (1) 任意个偶数的和 (或差 )是偶数；(2) 任意一个整数与偶数的积是偶数，特别地， n 个偶数的积是 2n 的倍数（ n N+） .性质 2 (关于奇数 )(1) 双数个奇数的和是偶数；(2) 单数个奇数的和是奇数；(3) 任意个奇数的积还是奇数。性质 3 奇数与偶数的和
4、是奇数 .性质 4 任一 奇数与 任一 偶数不相等 .三、数的整除特征三、数的整除特征一 个数被 2 , 5 , 4 , 25 , 8,125,3 , 9 , 7 , 11 , 13 等数整除的特征 (1) 能被 2 (或 5)整除的数的特征是：这个数末位数能被 2 或 5 整除； (2) 能被 4 (或 25 )整除的数的特征是这个数的末两位上的数字所组成的数能被 4 或 25 整除； (3) 能被 8 (或 125 )整除的数的特征是这个数的末三位上的数字所组成的数能被 8 或 125 整除(4)能被 9(或 3)整除的数的特征是这个数的各个数位上的数字之和能被 9(或 3)整除 .(5)
5、能被 11整除的数的特征是这个数的偶数位上的数字之和与奇数位上的数字之和的差能被 11整除 .(6)被被 7,11,13整除的数特征是整除的数特征是 : 将这个数从个位起从右往左每三位分成一节 , 奇数节的数之和与偶数节的数之和, 所得的差能被 7, 11, 13整除 . 练习 1、整数 637693能被 ( )整除 . A 3 B 5 C 7 D 9 2、整数 53340能被 11整除 , 内是 _ 1.2最大公约数与最小公倍数 1. 最大公约数： 一般地， n个整数的公有的 约数 ，叫做这 n个数的公约数， n个数的公约数中 最大 的一个数，叫做这 n个数的最大公约数 整数 a1 ,a2, ,a n(n2，n N)的最大公约数用符号 (a1 ,a2 , ,a n)来表示 如果两个整数的 最大公约数是 1，那么这两个数叫做互质数，或者说，这两个数 互质 （ 3） n 个数互质 若 (a1 ， a2 ， ， an) =1, 那么就叫做这 n 个数互质例如， (2， 4， 9) 1，我们就说 2， 4， 9这三个数互质如果 a1 ， a2 ， ， an ( n2) 中的任意两个数 ai, aj ( i j, I 1, 2, , n ； j 1, 2, , n) 互质，即 (ai, aj ) 1， 那么就叫做这 n 个整数两两互质（ 4） n 个数两两互质
