1、 几何与代数学习辅导几何与代数学习辅导主讲主讲 : 刘国华刘国华 东南大学数学系东南大学数学系 线性线性方程组方程组Ax=b 加法和数乘加法和数乘 转置转置 : (AB)T=BTATA1: AB=BA=E 分块运算分块运算 : 分块转置分块转置初等行初等行 (列列 )变换变换秩秩 : r(A)=行行 (列列 )秩秩Ak , f(A) Eigen pair: A= ()相似相似 : P1AP=B计算计算 xR3时判别直线和时判别直线和平面的位置关系平面的位置关系 b可由可由 A的列向量组的列向量组A1, A2 , , An线性表示线性表示方阵的特征值和特方阵的特征值和特征向量征向量 A= ()方
2、阵的相似对角化方阵的相似对角化问题问题 P1AP=实对称阵正交相似对角实对称阵正交相似对角化化 Q1AQ=diag(1, n)正交变换化实二次正交变换化实二次型为标准形型为标准形直角坐标变换化二次直角坐标变换化二次曲面曲面 为标准形为标准形 线线性性方方程程组组的的应应用用矩矩阵阵的的运运算算一一般般矩矩阵阵方方阵阵AB: 交换律消去律交换律消去律|A|: Rnn Rtr(A)=aii: Rnn RA*=(Aji): AA*=|A|E相合相合 : PTAP=B正定正定 : AT=A, xTAx0 (x)判 别 解 :r1 0. 可逆矩阵可逆矩阵 : AB = BA = E. 几何与代数几何与代
3、数 复习要点复习要点 矩阵乘法消去率一般不成立矩阵乘法消去率一般不成立 .矩阵乘法的交换律和消去率矩阵乘法的交换律和消去率 矩阵乘法交换率一般不成立(AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2 但是，消去率在但是，消去率在 A可逆时成立可逆时成立 .矩阵乘积可交换的情况：1. 方阵 4. 5. AkAl=AlAk3. (a Em) Amn = Amn(a En) 2. 对角矩阵对角矩阵 = 几何与代数几何与代数 复习要点复习要点 非零子式的最高阶数非零子式的最高阶数矩阵的秩矩阵的秩 6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)A中
4、至少有一个 r级子式 0, 任一 k(r)级子式 =0.1) r(Amn) minm, n9) 设 A是 n(2)阶方阵 , 则2) A,B相抵相抵 A,B同型同型 , r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆可逆 ).3) r(Amn) = r A P,Q可逆可逆 ,A =P Q. 设 A, B 都是可逆方阵 , 则常用的分块矩阵常用的分块矩阵 求逆求逆 和行列式公式和行列式公式A C0 B0 AB C= |A| |B|= (1)mn |A| |B| |A| |B| |C| |D| A D C B 作用 初等变换 终止矩阵 结 果秩秩 阶梯阵 r(A)=非 0行数行变换行变换极大
5、无极大无关组关组 (基基 )阶梯阵 主列 对应 原矩 阵 的列行变换行变换行最简形 非主列的 线 性表示关系解线性解线性方程组方程组Ax=b (AX=B) (A b)行变换行变换(A B)行变换行变换阶梯阵 判 别 解 :r1r)级子式 =0特征多项式特征多项式 : |EA| 伴随矩阵伴随矩阵 : A*=(Aji), AA*=|A|E逆矩阵逆矩阵 : A1 = A*/|A| 应用应用 克拉默法则克拉默法则 : xj=Dj /D 面积面积 /体积体积 矩矩 阵阵 叉积叉积 /混合积混合积 几几 何何 |AT| = |A|. |A| |A|. |A| |A|. 1. 化为三角形化为三角形 行列式行列式 3. 行列式按行 (列 )展开 2. 箭形行列式的计算箭形行列式的计算 4. 提公因子法提公因子法 5. 降阶递推法降阶递推法 aik Ajk = |A|ij , 6. 分解行列法分解行列法
