1、第十讲19世纪的几何与分析 IIl 分析的拓展l 19世纪的中国数学分析的拓展l 复变函数 论l 解析数论l 微分方程复变函数论n 1782-1812年拉普拉斯 (法 , 1749-1827), 1815年泊松 (法 , 1781-1840)讨论了复函数的积分泊松 复函数的偏导数与积分性质1752年和 1777年获得了达朗贝尔 -欧拉条件 (柯西 -黎曼条件 )v奠基人柯西 (法 , 1789-1857)黎曼 (德 , 1826-1866)魏尔斯特拉斯 (德 , 1815-1897)v 柯西 (法 , 1789-1857 ): 建立复变函数的微分和积分理论复变函数论n 1814年 , 1825
2、年的论文详细讨论了复函数的积分 关于积分限为虚数的定积分的报告 , 建立了柯西积分定理n 1826年提出留数概念n1846年发现积分与路径无关定理n 1831年获得柯西积分公式1789年法国爆发大革命1792年建立第一共和国1799 1815年拿破仑当政1814 1830年波旁王朝复辟1830 1848年 七月王朝1848年建立第二共和国1852 1870年第二帝国复变函数论 柯西 , 一个复杂的人：多产的科学家、忠诚的保王党人、不出色的教师 父亲支持拿破仑 , 与拉普拉斯、拉格朗日交往颇多 1805年进入巴黎综合工科学校学习工程 , 1810-1815参加拿破仑工程建设 1816年法国科学院
3、院士、综合工科学校教授， 1821年巴黎大学教授 1821-1829年出版三部微积分重要著作 , 成为数学分析严格化的开拓者和复变函数论的奠基人 1830-1838年离开法国 : 到瑞士 , 1831年在都灵 , 1833年在布拉格 1849年任巴黎理学院数学天文教授 , 1853-1857年任法兰西学院数学教授 发表论文 800多篇，全集 28卷柯西 (法 , 1989 )v 黎曼 (德 , 1826-1866) : 黎曼面复变函数论n 1851年博士论文 单复变函数一般理论基础 n 黎曼映射定理： 存在唯一解析函数将单连通区域 D双方单值保形映射为单位圆 阿尔福斯（芬美， 1907 199
4、6年）：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。 v 魏尔斯特 拉斯 (德 , 1815-1897)v 19世纪 40年代建立了幂级数基础上的解析函数理论v 解析开拓v 占据 主导地位 ，三者统一复变函数论克莱因（德， 1849 1925年）： “ 黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家。 魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进。在他工作的分支中，他力图达到确定的形式。 ” 解析数论l 1837年 狄 里克雷 (德 , 1805-1859)解决素数问题l 1859年黎曼 (德 , 1826-1866)论不超过一个给定值的素数个数 : (x)与 (s)l 1896年阿达玛 (法 , 1865-1963)和瓦莱 普桑 (比利时 , 1866-1962)证明了素数定理 (x)x/lnxl 1737年欧拉恒等式 : 解析数论解析数论阿达玛 (法 , 1865-1963) 瓦莱 普桑 (比利时 , 1866-1962)黎曼猜想 (1859)解析数论素数分布的研究推向壮丽巅峰为数学家留下魅力无穷的谜团
