六大基本初等函数图像及其性质.doc

1、桂林师范高等专科学校 14 生化班第 1 页六大基本初等函数图像及其性质1、常值函数（也称常数函数） y =C（其中 C 为常数）；常数函数（ ）0C0平行于 x 轴的直线 y 轴本身定义域 R 定义域 R2、幂函数 ， 是自变量， 是常数；y1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数xy2xy3xy21xy1xy定义域 R R R 0,+) x|x0值域 R 0,+) R 0,+) y|y0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇0,+) 增 (0,+) 减单调性 增(-,0 减增 增(-,0) 减公共点 （1,1）xyOxy2xy 31xy 21xO 0yxCyO xyy桂林师范高等专科学校 1

2、4 生化班第 2 页1）当 为正整数时，函数的定义域为区间为 ),(x，他们的图形都经过原点，并当 1时在原点处与 x 轴相切。且 为奇数时，图形关于原点对称； 为偶数时图形关于 y 轴对称；2）当 为负整数时。函数的定义域为除去 x=0 的所有实数；3）当 为正有理数 时，n 为偶数时函数的定义域为（ 0, +），n 为奇数时函数的定义域为（-m,+ ），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果 mn 图形于 x 轴相切，如果 mn,图形于 y 轴相切，且 m 为偶数时，还跟 y 轴对称；m，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当 为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；

3、n 为奇数时，定义域为去除 x=0 以外的一切实数。三、指数函数 ( 是自变量, 是常数且 ， )，定义域是 R ；xaya0a1无界函数1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数xay)1(xay)10(定义域 R值域 (0，+ )奇偶性 非奇非偶公共点 过点(0， 1)，即 时，0x1y单调性 在 是增函数），（ 在 是减函数），（ 1） 当 时 函 数 为 单 调 增 ,当 时 函 数 为 单 调 减 ；a10a2） 不 论 为 何 值 , 总 是 正 的 ,图 形 在 轴 上 方 ；xyx3） 当 时 , ,所 以 它 的 图 形 通 过 (0,1)点 。011yO(0,1)xy

4、xay)10(xxay)1(yO(0,1)y桂林师范高等专科学校 14 生化班第 3 页3.（选，补充）指数函数值的大小比较 ；*Naa.底数互为倒数的两个指数函数，xaf)(xaf1)(的函数图像关于 y 轴对称。b.1.当 时，a 值越大，1xay的图像越靠近 y 轴；b.2.当 时，a 值越大，10xay的图像越远离 y 轴。4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质 ；),0(Qnma(1) nma(2) nma(3) nnnma(4) nnbb.根式的性质；(1) ； (2)当 n 为奇数时，ann当 n 为偶数时， )0(a anc.分数指数幂；(1) )1,0(*nZm

5、anmyxaf)( xaf1)(O(0,1)xxO(0,1)yxf2)(xh3)(O(0,1)y xq21)(xg3)(桂林师范高等专科学校 14 生化班第 4 页(2) )1,0(1* nZmaanmn4、对数函数 ( 是常数且 )，定义域 无界xyalog1,0a),0(x1.对数的概念：如果 a(a0，a1)的 b 次幂等于 N，就是 ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，b记作 ,其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子 叫做对数式。balog alog对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图象与 的图xylogxayxyal xy象关于直线 对称。2.常用对数： 的对数

6、叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数记作 。10l Nlg3.自然对数：使用以无理数 为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数7182.e简记作 。elogln4.对数函数的图象：5.对数函数的性质；性质函数xyalog)1(xyalog)10(定义域 (0，+)值域 R奇偶性 非奇非偶公共点 过点(1 ， 0)，即 时，1x0y单调性 在(0,+)上是增函数 在(0,+)上是减函数1）对数函数的图形为于 y 轴的右方，并过点(1,0)；2）当 时，在区间(0,1)，y 的值为负，图形位于 x 的下方；在区间(1, + )，y 值为正，图形位a yO x(1,0)1xxyalog)1

7、(O x(1,0)y 1xal)10(桂林师范高等专科学校 14 生化班第 5 页于 x 轴上方，在定义域是单调增函数。 在实际中很少用到。1a6.（选，补充）对数函数值的大小比较 ；*Na.底数互为倒数的两个对数函数，xyalogxya1log的函数图像关于 x 轴对称。b.1. 当 时，a 值越大，1xxfalog)(的图像越靠近 x 轴；b.2. 当 时，a 值越大，)10(xxfalog)(的图像越远离 x 轴。7.对数的运算法则（公式）；a.如果 a0，a1，M0，N0，那么：Naalogllogaaalll Mnaaloglogb.对数恒等式：Nalog )010(N，且c.换底公

8、式：(1) （ ，一般常bNablogl1,0a常换为 或 10 为底的对数,即e或 ）bNblnlogbNblglo(2)由公式和运算性质推倒的结论： bmbanaloglogd.对数运算性质(1)1 的对数是零，即 ；同理 或01loga01lnlgyO x(1,0)xyalogy1yO x(1,0)xf2log)(f3lyO x(1,0)f21log)(xf31l)(桂林师范高等专科学校 14 生化班第 6 页(2)底数的对数等于 1，即 ；同理 或1loga1lne0lg5、三角函数1.正弦函数 ,有界函数，定义域 ，值域xysin),(x1,y图象：五点作图法：0， ， ， ，232

9、2.余弦函数 ，有界函数，定义域 ，值域xycos),(x1,y图象：五点作图法：0， ， ， ，2323.正、余弦函数的性质；性质函数 xysin)(Zkxycos)(Zk定义域 R值域 -1,1 -1,1奇偶性 奇函数 偶函数周期性 2T 2T对称中心 )0,(k )0,(k对称轴 2x 2单调性在 上是增函数,2k在 上是减函数23,x在 上是增函数kx,在 上是减函数2最值 时，k1maxy时，kx1maxy桂林师范高等专科学校 14 生化班第 7 页时，2kx1miny时，kx21miny4.正切函数 ，无界函数，定义域 ，值域ytan)(,2Zkx),(y的图像xytan5.余切函

10、数 ，无界函数，定义域 ,xycotZk,),(y的图像xycot6.正、余切函数的性质；性质函数 xytan)(Zkxycot)(Zk定义域 2 值域 R R奇偶性 奇函数 奇函数周期性 TT单调性 在 上都是增函数)2,(k在 上都是减函数)1(,k对称中心 0,( 0,22O3253 23253y x2O2325 2325y x桂林师范高等专科学校 14 生化班第 8 页零点 )0,(k )0,2(k7.正割函数 ，无界函数，定义域 ，值域xysec)(,2Zkx1secx8.余割函数 ，无界函数，定义域 ，值域xysin1c)(,Zkx1csx9.正、余割函数的性质；性质函数 xyse

11、c)(Zkxycs)(Zk定义域 2值域 ),1(， ),1(，奇偶性 偶函数 奇函数周期性 2T 2T单调性 )23,(),2(kk减减)2,3(),(kk2O232523253yx-112O3252353yx-11的图像sec的图像xycs桂林师范高等专科学校 14 生化班第 9 页增)2,()2,( kk )23,2(),2( kk增续表：性质函数 xysec)(Zkxycs)(Zk对称中心 0,2 0,对称轴 kx kx2渐近线 2 6、反三角函数1.反正弦函数 ，无界函数，定义域-1,1，值域xyarcsin ,0A.反正弦函数的概念：正弦函数 在区间 上的反函数称为反正弦函数，记为

12、xysin2,xyarcsin2.反余弦弦函数 ，无界函数，定义域-1,1 ，值域xyarcos ,0B.反余弦函数的概念：余弦函数 在区间 上的反函数称为反余弦函数，记为xycos,xyarcos的图像 的图像xyarcsin xyarcos3.反正、余弦函数的性质；性质函数 xyarcsin r定义域 -1,1 -1,1值域 ,0 ,0奇偶性 奇函数 非奇非偶函数O xy1-122O xy1-12桂林师范高等专科学校 14 生化班第 10 页单调性 增函数 减函数4.反正切函数 ，有界函数，定义域 ,值域xyarctn)(x2,C.反正切函数的概念：正切函数 在区间 上的反函数称为反正切函数，记为ytan2,xyarctn5.反余切函数 ，有界函数，定义域 ,值域xrcyot )(x,0D.反余切函数的概念：余切函数 在区间 上的反函数称为反余切函数，记为ycot0xarcyt的图像 的图像xyarctn xarcyot6.反正、余弦函数的性质；函数性质 xyarctn xarcyot定义域 R值域 2,0奇偶性 奇函数 非奇非偶xyO22xyO2