1、第八讲 柳暗花明 19世纪数学的发展 (上 ):代数学的新生 1. 数学悲观主义的来由2. 数学发展的动力从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关，对自然的探索是数学研究最丰富的源泉。但是，数学的发展对于现实世界又表现出相对的独立性。一种数学理论一经建立，便可基于逻辑思维向前推进，并由此导致新理论与新思想的产生。因此，内在的逻辑需要也是数学进步的重要动力之一。 生产实践的需要 数学发展的动力数学发展的动力 数学内部的矛盾 数学家的求知欲3. 数学内部矛盾的积累(1)高次代数方程的根式可解性(2)欧几里得第五公设的可证性(3)微积分基础的严格性代数学的新生二次方程的解法古巴比伦人
2、就已掌握。中世纪，阿拉伯数学家将二次方程的理论系统化。三、四次方程的求解在文艺复兴时期获得解决。接下来，让人关心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整两个半世纪内，很少有人怀疑五次代数方程根式解法的存在性。但是寻求这种解法的努力却都以失败而告终。拉格朗日在 1770年发表的 关于代数方程解的思考 第一次明确宣布 “ 不可能用根式解四次以上方程 ” ，但他没有给出证明。发现者：阿贝尔 伽罗瓦发展者：凯莱 若尔当 F.克莱因 李一一 . 代数方程的可解性与群的发现代数方程的可解性与群的发现xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an = 0 , n 41770
3、拉格朗日 :1824 阿贝尔 : (自费出版 )1826 克莱尔 创刊号7篇阿贝尔的论文18291831 伽罗瓦 : 判别方程根式可解的充要条件N.H.阿贝尔 (1802-1829)生于芬岛一个牧师家庭 .13岁入奥斯陆一所教会学校学习 .1821年在一些教授资助下,阿贝尔进入奥斯陆大学 .1824年 ,他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题 .1825年 ,他到达拍林 ,在那里结识了克雷尔 ,并成为好友 .1826年阿贝尔来到巴黎 ,遇见了勒让德和柯西等著名数学家 .他写了一篇关于椭圆积分的论文 ,提交给法国科学院 ,不幸未得到重视 ,他只好又回到柏林 .克雷尔为他谋求教授职位 ,但没有成
4、功 .1827年阿贝尔贫困交迫地回到了挪威 ,并靠作家庭教师维持生计 .由于过渡疲劳和营养不良 ,阿贝尔在旅途上感染了肺结核 .一年以后 ,不到27岁的阿贝尔病逝 .就在阿贝尔去世的第二天 ,克雷尔来信通知他被柏林大学任命为教授 .此后荣誉和褒奖接踵而来 ,1830年他和C.G.J.雅可比共同获得法国科学院大奖 .阿贝尔1824年 ,年仅 22岁的阿贝尔自费出版了一本小册子 论代数方程 ,证明一般无此方程的不可解性 ,其中 ,阿贝尔严格证明了以下事实 : 如果方程的次数 ,并且系数看成是字母 , 那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的解 . 这样 , 阿贝尔就解决了五次和高于五次的一
5、半方程的求解问题 . 另外 , 阿贝尔还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程 , 其中包含 “域 ”这一重要的近世代数概念 , 但没有给出 “域 ”这一术语 .研究了更广的一类代数方程 , 称交换群为阿贝尔群 ; 研究过无穷级数 ,得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定理; 这些工作使他成为分析学严格化的推动者 . 是公认的椭圆函数论的奠基者 , 发现了椭圆函数的加法定理、双周期性、并引进了椭圆积分的反演 . 为椭圆函数论的研究开拓了道路 ,并深刻地影响着其他数学分支 .E.伽罗瓦 (18111832) 伽罗瓦出生在巴黎附近一个小镇的镇长家庭 .但当时正是法国大革命的动荡时代 ,在伽罗瓦 18
6、岁时 ,他的父亲因与天主教保守势力冲突而自杀 .从此各种不幸接踵而来 .在父亲去世一个月后 ,伽罗瓦报考向往已久的巴理工科综合大学遭遇失败 .后来伽罗瓦靠近了巴黎高等师范学校 ,但在第二年因参加反对波旁王朝的 “ 七月革命 ” 而被校方开除 ,以后又因参加政治运动被捕入狱 .1832年 5月因爱情纠葛参加一次决斗 ,在决斗中伽罗瓦身亡 ,当时他还不足 21岁 .第一次论文被柯西丢失 ,第二次饮负责审稿的科学院秘书傅立叶病逝而下落不明 ,第三次则被泊松认为 “ 不可理解” 而打入冷宫 .伽罗瓦的思想 是将一个 n次方程 xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an = 0的 n个根 x
7、1、 x2 、 、 xn作为一个整体来考察 , 并研究它们之间的排列或称 “置换 ”.以四次方程的四个根 x1, x2, x3, x4 为例 , 在包含这些 xi的任何表达式中交换 x1和 x2 就是一个置换 , 用来表示 . 另一个置换用表示 . 第一个置换后再实行第二个置换 , 等价于实行第三个置换共有 24个置换 , 它们的全体构成的集合 P, 伽罗瓦称之为 “群 ”,他同时考虑方程的系数的有理表达式形成的集合 F(今天称为基本域 ,是出现最早的域 ).考虑 P的一个子集 G, 其中的每个置换使方程的以 F的元素为系数的所有代数关系保持不变 . 伽罗瓦称 G为“方程的群 ”, 即今天所谓的伽罗瓦群 , 并指出它是解决全部方程根式可解问题的关键 .设方程 x4 + px2 +q = 0 ，其中 p, q 是独立的 , 令 F是 p, q 的有理表达式形成的域 (基本域 ), 如 就是这样一个表达式 .这个方程的四个根：
