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椭圆的标准方程及其几何性质.doc

1、椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义:(1)第一定义:平面内与两个定点 的距离之和为常数 的动点 的21F、 |)|2(2FaP轨迹叫椭圆,其中两个定点 叫椭圆的焦点.21、当 时, 的轨迹为椭圆 ; ; 21FaPFP当 时, 的轨迹不存在; 21当 时, 的轨迹为 以 为端点的线段21 21F、(2)椭圆的第二定义:平面内到定点 与定直线 (定点 不在定直线 上)的距离之比是ll常数 ( )的点的轨迹为椭圆e0(利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化).2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(12bayx )0(12baxy参数关系 22c焦点 )0

2、,(,c ),0(c焦距范围 byax|,| bxay|,|顶点 ),0()(0, )0,()0(,对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称离心率 )1,(ace性质准线 cax2cay23.点 与椭圆 的位置关系:),(0yxP)0(12bya当 时,点 在椭圆外; 当 时,点 在椭圆内; 当 时,点 在12ba 12yaxP12byaxP椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交 ;直线与椭圆相切 ;直线与椭圆相离000例题分析:题 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:两个焦点坐标分别是(-4,0)、 (4,0) ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10;两个焦点坐标分别是(0,

3、2)和(0,2)且过( , ) 奎 屯王 新 敞新 疆235(3)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0).(4)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26.(5)焦点在 轴上,与 轴的一个交点为 P(0,10), P 到它较近的一个焦点的距离y等于 2.解:(1)因为椭圆的焦点在 轴上,所以设它的标准方程为x12byax)0(ba945,80222c所以所求椭圆标准方程为 奎 屯王 新 敞新 疆 1yx2 因为椭圆的焦点在 轴上,所以设它的标准方程为12bxay)0(ba由椭圆的定义知,22)5()322)5()310又a2c

4、642b所以所求标准方程为 奎 屯王 新 敞新 疆 102xy另法: 422acb可设所求方程 ,后将点( , )的坐标代入可求出 ,从而求12xy235a出椭圆方程 奎 屯王 新 敞新 疆(3)椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为:)0(12bayx ,2 c=6.1035(3522 ,ca 6222b所求椭圆的方程为: .15yx(4)椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为.)0(2bax .142cab所求椭圆方程为: 1692xy(5)椭圆的焦点在 轴上,所以可设它的标准方程为: )0(12baxy (,)在椭圆上, .a又 P 到它较近的一焦点的距离等于 2, c(),

5、故 c=8. .3622ab所求椭圆的标准方程是 .102xy题 2。已知 B,C 是两个定点,BC6,且 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方ABC程 奎 屯王 新 敞新 疆解:以 BC 所在直线为 轴,BC 中垂线为 轴建立直角xy坐标系,设顶点 ,根据已知条件得),(yA|AB|+|AC|=10 奎 屯王 新 敞新 疆再根据椭圆定义得 奎 屯王 新 敞新 疆4,35bca所以顶点 A 的轨迹方程为( 0) (特别强调检验)1625yx A CB xOy因为 A 为ABC 的顶点,故点 A 不在 轴上,所以方程中要注明 0 的条件 奎 屯王 新 敞新 疆xy题 3。在 ABC 中, BC

6、=24, AC、 AB 的两条中线之和为 39,求 ABC 的重心轨迹方程.分析:以 BC 所在直线为 轴, BC 的中垂线为 轴建立如xy图所示的平面直角坐标系, M 为重心,则|MB|+|MC|= 39=26.2根据椭圆定义可知,点 M 的轨迹是以 B、 C 为焦点的椭圆,故所求椭圆方程为 ( 0) 奎 屯王 新 敞新 疆12569yx题 4。已知 轴上的一定点 A(1,0) ,Q 为椭圆 上的动点,求 AQ 中点 M 的轨迹方x 142yx程 奎 屯王 新 敞新 疆解:设动点 的坐标为 ,则 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 M),(yx),(x因为点 为椭圆 上的点,Q142所以有 ,

7、即)(22yx 14)2(2yx所以点 的轨迹方程是 奎 屯王 新 敞新 疆M12题 5。长度为 2 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 轴、 轴上滑动,点 M 分 AB 的比为xy,求点 M 的轨迹方程 奎 屯王 新 敞新 疆32解:设动点 的坐标为 ,则 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 ),(yx)0,35()25,0(因为 ,2|AB所以有 ,即4)5(32yx 429yx所以点 的轨迹方程是 奎 屯王 新 敞新 疆M5题 6。已知定圆 ,动圆 M 和062xy 已知圆内切且过点 P(-3,0),求圆心 M 的轨迹及其方程 奎 屯王 新 敞新 疆

8、 分析:由两圆内切,圆心距等于半径之差的绝对值 奎 屯王 新 敞新 疆 根据图形,用数学符号表示此结论: 奎 屯王 新 敞新 疆 PQ8上式可以变形为 ,又因为 ,所以86Q圆心 M 的轨迹是以 P,Q 为焦点的椭圆 奎 屯王 新 敞新 疆 解 已知圆可化为: 432yxFE AMCBxOyMAQ 2-2 xOyMAB xOyr 8MP QxOy圆心 Q(3,0), ,所以 P 在定圆内 奎 屯王 新 敞新 疆 设动圆圆心为 ,则 为半径 奎 屯王 新 敞新 疆 又圆 M8r ),(yxMP和圆 Q 内切,所以 ,M即 ,故 M 的轨迹是以 P,Q 为焦点的椭圆,且 PQ 中点为原点,所以,

9、,故动圆圆心 M 的轨迹方程是: 奎 屯王 新 敞新 疆 82a72b 1762yx题 7。 ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边 AB、 AC 的斜率的乘积是-,求顶点 A 的轨迹方程.94选题意图:巩固求曲线方程的一般方法,建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思,训练根据条件对一些点进行取舍.解:设顶点 A 的坐标为 .),(yx依题意得 ,946yx顶点 A 的轨迹方程为 .)6(1382yx说明:方程 对应的椭圆与 轴有两个交点,而此两交点为(,)与612y(0,6)应舍去.题 8P 为椭圆 上的点,且 P 与 的连线互相垂直,求 P 奎 屯王 新 敞新

10、疆 925x21,F解:由题意,得 64 ,20)4(20)54(x6570x182yP 的坐标为 , , , 奎 屯王 新 敞新 疆,79,7)49,()49,(题 9椭圆 上不同三点 与焦点 F(4,0)的距离成 1925yx ),()5,(21yxCByxA等差数列,求证 奎 屯王 新 敞新 疆821证明:由题意,得 2)54(1x)(x)45(821x题 10设 P 是以 0 为中心的椭圆上任意一点, 为右焦点,求证:以线段 为直径的FPF2圆与此椭圆长轴为直径的圆内切 奎 屯王 新 敞新 疆 F2F1 PO1A2A1xOy证明:设椭圆方程为 ,( ),12byax0a焦半径 是圆 的

11、直径,PF21O则由 知,两圆半径之差等于圆心距,1122 OPFa所以,以线段 为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切 奎 屯王 新 敞新 疆F2题 11。已知椭圆的焦点是 , 为椭圆上一点,且 是 )0,1(,(21F21F1P和 的等差中项.2PF(1)求椭圆的方程;(2)若点 P 在第三象限,且 120,求 .21P21tanP选题意图:综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识,灵活运用等比定理进行解题.解:(1)由题设 41F221F , 2 c=2, 4a3椭圆的方程为 .12yx()设 ,则 60 21PF12F由正弦定理得: )60sin(siin1P由等比定理得: )i(12ii

12、221)60sin(234sin整理得: 故)cos1(i553cos1in23tan题 12. 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆相交于点P F2F1xOyP 和点 Q,且 OPOQ,|PQ|= ,求椭圆方程.210解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m 0,n0) ,设 P(x 1,y 1) ,Q(x 2,y 2) ,解方程组y=x+1,mx2+ny2=1.消去 y,整理得(m +n)x 2+2nx+n1=0. =4n24(m +n) (n1)0,即 m+nmn 0,OP OQ x1x2+y1y2=0,即 x1x2+(x 1+1) (x 2+1)=0

13、,2x 1x2+(x 1+x2)+1=0, +1=0.nm)(m+n=2. 由弦长公式得 2 =( ) 2,将 m+n=2 代入,得 mn= . 2)(4nm043m= , m= ,2123n= n= . 31椭圆方程为 + y2=1 或 x2+ =1.x3y题 13. 直线 l 过点 M(1,1) ,与椭圆 + =1 相交于 A、B 两点,若 AB 的中点为423M,试求直线 l 的方程.解:设 A(x 1, y1) 、B(x 2,y 2) ,则 + =1, 423+ =1. 2xy,得+ =0.4)(2121xx3)(2121yy = .21xy321y又M 为 AB 中点,x 1+x2=

14、2,y 1+y2=2.直线 l 的斜率为 .43直线 l 的方程为 y1= (x1) ,解得 或即 3x+4y7=0.题 14。已知椭圆 的中心为坐标原点 ,一个长轴端点为 ,短轴端点和焦点所组成的CO01四边形为正方形,直线 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、 B,且lPBA3(1)求椭圆方程;(2)求 m 的取值范围【解题思路】通过 ,沟通 A、B 两点的坐标关系,再利用判别式和根与系数关PA3系得到一个关于 m 的不等式解析(1)由题意可知椭圆 为焦点在 轴上的椭圆,可设Cy2:1(0)yxCab由条件知 且 ,又有 ,解得 abc22abc1,2abc故椭

15、圆 的离心率为 ,其标准方程为: Ce2xy(2)设 l 与椭圆 C 交点为 A(x 1,y 1) ,B (x 2,y 2)Error! 得(k 22)x 22kmx(m 21)0( 2km) 2 4(k 22) (m 21)4(k 22m 22)0 (*)x1x 2 , x1x2 2kmk2 2 m2 1k2 2 3 x 13x 2 Error!AP PB消去 x2,得 3(x 1x 2) 24x 1x20,3( ) 24 0 2kmk2 2 m2 1k2 2整理得 4k2m22m 2k 220 m2 时,上式不成立;m 2 时,k 2 ,14 14 2 2m24m2 1因 3 k0 k 2

16、 0,12m22 成立,所以( *)成立即所求 m 的取值范围为( 1, )( ,1) 12 12题 15。设 x、yR,i、j 为直角坐标平面内 x、y 轴正方向上的单位向量,若向量a=xi+( y+2)j,b= xi+(y 2 )j ,且|a|+| b|=8.(1)求点 M(x,y)的轨迹 C 的方程.(2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 = + ,是否存在这OPAB样的直线 l,使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由.(1)解法一:a=xi+(y +2)j ,b=xi+(y2)j ,且|a|+|b|=8 ,点 M(x

17、,y)到两个定点 F1(0,2) ,F 2(0,2)的距离之和为 8.轨迹 C 为以 F1、F 2 为焦点的椭圆,方程为 + =1.1x6y解法二:由题知, + =8,2)(yx2)(移项,得 =8 ,22)(两边平方,得x2+(y+2) 2=x2+(y2) 216 +64,22)(yx整理,得 2 =8y,)(两边平方,得 4x 2+(y 2) 2=(8y) 2,展开,整理得 + =1.16(2)l 过 y 轴上的点( 0,3) ,若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶点. = + =0,OPP 与 O 重合,与四边形 OAPB 是矩形矛盾.直线 l 的斜率存在.设 l 方程为

18、y=kx+3,A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,y=kx+3,+ =1,12x6(21)0 恒成立,且 x1+x2= ,x 1x2= .348k234k = + ,四边形 OAPB 是平行四边形.若存在直线 l,使得四边形 OAPB 是OPAB矩形,则 OAOB,即 =0.O =(x 1,y 1) , =(x 2,y 2) , =x1x2+y1y2=0,OAB即(1+k 2)x 1x2+3k(x 1+x2)+9=0,即(1+k 2)( )+3k( )+9=0,即 k2= ,得 k= .3423418k16545由 消 y 得(4+3k 2)x 2+18kx21=0.此时, =(1

19、8k 2)4(4+3k 2)存在直线 l:y = x+3,使得四边形 OAPB 是矩形.45椭圆作业班级:_姓名:_题 16。选择题1. 已知 F1、F 2 是椭圆 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 M、N 两点,162x9y则MNF 2 的周长为A.8 B.16 C.25 D.32解析:利用椭圆的定义易知 B 正确.答案:B2. 椭圆 +y2=1 的两个焦点为 F1、F 2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一4x个交点为 P,则| |等于2A. B. C. D.423327解法一:(如下图)设椭圆的右焦点为 F1,左焦点为 F2,过 F1 垂直于 x 轴的直线与椭

20、圆在第一象限的交点为 P.x y O F FP 2 1 +y2=1,a=2 ,b=1, c= .4x3F 1( ,0).设 P( ,y P)代入 +y2=1,得 yP= ,34x1P( , ) ,|PF 1|= .2又|PF 2|+|PF1|=2a=4,|PF 2|=4|PF 1|=4 = .73. 设 F1、F 2 为椭圆的两个焦点,以 F2 为圆心作圆 F2,已知圆 F2 经过椭圆的中心,且与椭圆相交于 M 点,若直线 MF1 恰与圆 F2 相切,则该椭圆的离心率 e 为A. 1 B.2 C. D.33 3解析:易知圆 F2 的半径为 c, (2ac ) 2+c2=4c2, ( ) 2+2( )2=0, = 1.acac答案:A4. 已知 为椭圆 上的一点, 分别为圆 和圆P2156xy,MN2(3)1xy上的点,则 的最小值为( ) 2(3)4xP

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