1、一门新兴的学科 多姿多彩的分形几何学及其应用（研究生文化前沿系列讲座之一）江苏师范大学 戴朝寿2012年 7月 16日12012年 7月高等教育（大学）的历史使命（四大职能）：人才培养，科学研究，社会服务，文化传承与创新美国杰出的物理学家（ 两弹元勋 、现代广义相对论之父）、物理学思想家、物理学教育家惠勒（ Wheeler ）断言：“ 可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。 ”22012年 7月问 题 的 提 出你知道人脑表面的皱纹、菜花纹路可以用数学来刻画吗？你知道海岸线以及各大江河主支流的状况可以用数学来刻画吗？ 你知道演绎了旷世恋情的 泰坦尼克号 电影中那条豪华游轮
2、在危难时的 “ 海浪背景 ” 是如何生成的吗？你知道维数可以是分数吗？32012年 7月认 识 分 形如果你从未听说过 “ 分形 ” ，一时又很难搞清楚分形是什么，有一个简单迅捷的方法：去市场买一颗新鲜的菜花（花椰菜），掰下一枝，切开，仔细观察，思考其组织结构。这就是分形！分形可以是自然存在的，也可以是人造的：花椰菜、树木山川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形；再想想闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星系、各种生物体的表面、小肠绒毛、大脑皮层等等的形状、结构！42012年 7月分形 ( fractal )分形几何理论诞生于 20 世纪 70 年代，
3、创始人是美国科学院院士、著名数学家曼德尔布罗特（ B. B. Mandelbrot )， 他 1982 年出版的 自然界中的分形几何学 ( The Fractal Geometry of Nature ) 是这一学科经典之作。分形 ( fractal ) 是近 20 多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念。混沌 ( chaos )、 孤立子 ( solitons )和分形 ( fractals )是非线性科学 ( nonlinear science ) 中三个最重要的概念。52012年 7月一、从研究 “英国的海岸线有多长 ”所引发的问题1967 年曼德尔布罗特在 科学 上发表了题为 英国
4、的海岸线有多长 ? 统计自相似性与分数维数 的著名论文。此文的原由在于 曼德尔布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误差，往往是大国公布的公共边界线短，而小国公布的公共边界线长。 原因在于边界线是一条复杂的曲线，所用的测量尺度越小，测量的长度就越长。62012年 7月二、分形几何学发展的历史回顾分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支 , 它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。分形理论的数学基础是分形几何学。分形理论的发展大致可分为三个阶段。下面简要回顾一下分形理论在这三个历史阶段的发展过程。72012年 7月第一阶段：对几类分形集的认识自 1875 年至
5、 1925 年 , 人们已认识到几类典型的分形集 , 并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻划。自然界中的所有形状和人类迄今所考虑的一切图形，大致可分为如下两种：一种是具有特征长度的图形；另一种是不具有特征长度的图形。属于具有一定特征长度的一类物体的基本形状，具有其线、面为光滑的共同性质。1827 年发现的布朗（ R. Brown ） 运动是一种极为典型的随机分形集，其轨迹连续但处处不可微。82012年 7月维尔斯特拉斯函数1872年，德国分析学大师魏尔斯特 拉斯(K. Weierstrass)构造出函数证明了它连续而处处不可微。这一反例在当时引起了极大的震动。遗憾的是，尽管人们在观念上产生了改变，但仍视这种类型的函数为 “病态 ”之例而打入另册。92012年 7月实例一 康托三分集 （ 1872年）记 是单位长直线段 0， 1 ；设 是去掉 中间的 1/3 部分所得到的集，即 ；然后从构成 的 2 个子区间中分别去掉中间的 1/3 部分，所得的 4 个子区间构成 ，即；如此继续下去， 是从构成 的每个区间中分别去掉中间的 1/3 部分而得到的长度为 的 个子区间之并集；当 充分大时， 与 之间只在精细的细节上不同；康托三分集 是指由所有 的公共点构成的集，即 ，C 实际上是集序列 当 n 趋于无穷时的极限。102012年 7月
