第 四 章欧式空间12/22/2022内积内积欧式空间欧式空间标准正交基标准正交基主要内容1.向量内积和欧式空间的概念向量内积和欧式空间的概念2.基的标准正交化基的标准正交化1.1.1.1.向量内积的概念向量内积的概念向量内积的概念向量内积的概念【定义定义4.2】注注:由矩阵乘法的定义，显然有由矩阵乘法的定义，显然有内积运算律内积运算律一一、n维向量空间维向量空间 欧式空间欧式空间2.2.向量的向量的长长度度(模模)【定义定义4.3】设设 R n，令，令:称称|为向量为向量 的的长度长度(模模),),称称长度为长度为1 1的向量为的向量为单位向量单位向量.注注:当当n=3时时,向量向量 的的长度长度即为几何向量在空间直角坐即为几何向量在空间直角坐标系中长度的坐标表示式。标系中长度的坐标表示式。【定理定理4.1】(施瓦茨施瓦茨(Schwarz)不等式不等式)施瓦茨施瓦茨(Schwarz)不等式不等式3.3.向量的向量的夹夹角：角：显然显然:零向量与任意向量正交零向量与任意向量正交!当当 ，时，时，称为称为n维向量维向量 与与 的的夹角夹角，记为，记为().【定义定义4.4】说明说明:当当
