三角函数的图像和性质知识点及例题讲解.doc

1、- 1 -三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数 y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) ( ,1) (,0) ( ,-1) (2,0)223余弦函数 y=cosx x0,2的图像中，五个关键点是：(0,1) ( ,0) (,-1) ( ,0) (2,1)2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinycosyxtanyx图象定义域RR,2xk值域 1,1,R最值当 时，2xk；当may2xk时， min1y当 时， 2xk；当may时， in1既无最大值也无最小值周期性2奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在 2,2k上是增函数；

2、在 3,k上是减函数在 上是增函,2k数；在 上是减函,数在 ,2k上是增函数对称性对称中心 ,0对称中心 ,02k对称中心 ,02k函 数性质- 2 -对称轴 2xk对称轴 xk无对称轴例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x0，2， (2)y=-cosx，x0，2例利用正弦函数和余弦函数的图象，求 满足下列条件的 x 的集合：21sin)(x 21cos)(3、周期函数定义：对于函数 ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的每一个值时，()yfx都有： ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期。()(fxTf注意： 周期 T往往是多值的（如 2,4,-2,-

3、4,都是周期）周期 T中最小的正数叫做sinyx的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） , 的最小正周期为 2 ()yfx sinyxcosyx（一般称为周期） 正弦函数、余弦函数： 。正切函数：2T例求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+ ) 2 y=cos2x 3 y=3sin( + ) 4 y=tan3x 3 2x5例求下列函数的定义域和值域：（1） （2） （3）2sinyx3sinyxlgcosyx- 3 -例 5求函数 的单调区间sin(2)3yx例不求值，比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆(1)sin( )、sin( )； (2)cos( )、cos( )180523417

4、解：(1) (2)cos( )cos cos2182 53且函数 ysin x， x ， 是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆 cos( )cos cos417sin( )sin( ) 0 10 53即 sin( )sin( )0 且函数 ycos x， x0， 是减函数81cos cos 4即 cos cos 053cos( )cos( )02174、函数 的图像：sin0,yxA（1）函数 的有关概念：振幅： ； 周期： ； 频率： ； 相位： ； 初相： 212fx(2) 振幅变换y=Asinx，xR(A0 且 A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(00 且 1

5、)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的 倍（纵坐标不变）1若 0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图 奎 屯王 新 敞新 疆 决定了函数的周期，这一变换称为周期变换 奎 屯王 新 敞新 疆(4) 相位变换- 4 -一般地，函数 ysin( x )， xR(其中 0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当0 时)或向右(当 0 时平行移动 个单位长度而得到 奎 屯王 新 敞新 疆 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)ysin( x )与 ysin x的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换 奎 屯王 新 敞新 疆5、小结平移

6、法过程（步骤）6、函数 ，当 时，取得最小值为 ；当 时，取得最大值为 ，sinyxA1xminy2xmaxy则 ， ， mai12main2y212x例 如图 e，是 f（x）A sin（ x ） ，A0， 的一段图象，则 f（x）的表达式为 奎 屯王 新 敞新 疆例 如图 b 是函数 yA sin( x ）2 的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )A 奎 屯王 新 敞新 疆A3， ， 46B 奎 屯王 新 敞新 疆A1， ， 43C 奎 屯王 新 敞新 疆A1， ， 2D 奎 屯王 新 敞新 疆A1， ， 346作 y=sinx（长度为 2的某闭区间）得 y=sin(x+) 得 y

7、=sinx得 y=sin(x+) 得 y=sin(x+)得 y=Asin(x+)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到 R 上。沿 x 轴平 移| 个单位 横坐标 伸长或缩短横坐标伸 长或缩短1沿 x 轴平 移 | |个单位纵坐标伸 长或缩短 纵坐标伸 长或缩短图 e- 5 -例 画出函数 y3sin(2 x )， xR 的简图 奎 屯王 新 敞新 疆3解：(五点法)由 T ，得 T 列表：2x 613127652x+ 30 23sin(2x+ ) 0 3 0 3 0例求函数 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 奎 屯王 新 敞新 疆3tany解：由 得 ，2kx1853kx所求定

8、义域为 zR,|且值域为 R，周期 ，是非奇非偶函数 奎 屯王 新 敞新 疆3T在区间 上是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆zkk185,例 已知函数 y=sin2x+ cos2x-2 奎 屯王 新 敞新 疆 3(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象 奎 屯王 新 敞新 疆 (2)求这个函数的周期和单调区间 奎 屯王 新 敞新 疆 (3)求函数图象的对称轴方程 奎 屯王 新 敞新 疆 (4)说明图象是由 y=sinx的图象经过怎样的变换得到的 奎 屯王 新 敞新 疆 解： y=sin2x+ cos2x-2=2sin(2x+ )-233(1)列表 x 612312765320 2)sin(x

9、y-2 0 -2 -4 -2其图象如图示 (2) = 奎 屯王 新 敞新 疆 2T由- +2k 2 x+ +2k ，知函数的单调增区间为 32- 6 - +k , +k , kZ 奎 屯王 新 敞新 疆 125由 +2k 2 x+ +2k ，知函数的单调减区间为 32 +k , +k , kZ 奎 屯王 新 敞新 疆 (3)由 2x+ = +k 得 x= + 奎 屯王 新 敞新 疆 1函数图象的对称轴方程为 x= + ,(kZ) 奎 屯王 新 敞新 疆 2(4)把函数 y1=sinx的图象上所有点向左平移 个单位，得到函数 y2=sin(x+ )的图象； 33再把 y2图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到 y3=sin (2x+ )的图象； 1再把 y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)，得到 y4=2sin (2x+ )的图象； 最后把 y4图象上所有点向下平移 2个单位，得到函数 y=2sin (2x+ )-2的图象 奎 屯王 新 敞新 疆 3