1、2.4 向量的数量积（1）一、课题：向量的数量积（1）二、教学目标：1理解平面向量数量积的概念；2掌握两向量夹角的概念及其取值范围 ；0,3掌握两向量共线及垂直的充要条件；4掌握向量数量积的性质。三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。 四、教学过程：（一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法：（其中 是 与 的夹角） |cosWFFs（二）新课讲解：1向量的夹角：已知两个向量 和 （如图 2） ，作 ， ，则abOAaBb（ ）叫做向量 与 的夹角。AOB018当 时， 与 同向；当 时， 与 反向；18当 时， 与 的夹角是 ，我们说 与 垂直，记作 9ab90abab2向量数量积的定
2、义：已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，则数量 叫做 与 的数量|cos积（或内积） ，记作 ，即 |cos说明：两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；规定，零向量与任一向量的数量积是 03数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图， ， ，过点 作 垂直于直线 ，垂足为 ，则 OAaB1OA1B1|cosOb叫做向量 在 方向上的投影，当 为锐角时，它是正值；当 为钝角时，|cosbba它是一负值；当 时，它是 ；当 时，它是 ；当 时，它是90 0|b180sFO
3、AB（图 1）（图 2）aA1BA1BAb1()B|b（2） 的 几 何 意 义 ： 数 量 积 等 于 的 长 度 与 在 的 方 向 上 的 投 影a ab|ab|cosb的 乘 积 。【练习】：已知 ， ， 与 的夹角 ，则 ；|5|4120a10已知 ， 在 上的投影是 ，则 8 ；b|已知 ， ， ，则 与 的夹角 |a| 3abb35（3）数量积的性质：设 、 都是非零向量， 是 与 的夹角，则 ；cos|ba当 与 同向时， ；当 与 反向时， ；|ab|ab特别地： 或 ；2| ；|b ；a0若 是与 方向相同的单位向量，则e |cos4例题分析：例 1 已知正 的边长为 ，设 ， ， ，求 ABC2BCaAbBcabca解：如图， 与 、 与 、 与 夹角为 ，ab120原式 |cos10|cos|os120b 2()36例 2 已知 ， ， ，且 ，求 |a|2cabcabca解：作 ， ，ABcC ， ，0bAb 且 ，|22| 中， ， ， ， ，93tan0A6B所以， 3cos150cos19312abc五、课后练习： 补充：1若非零向量 与 满足 ，则 0 ab|ab六、课堂小结：1向量数量积的概念；2向量数量积的几何意义；3向量数量积的性质。七、作业：CBA
