1、2.3 解析函数和调和函数的关系一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考一、调和函数的定义定义调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用 .拉普拉斯调和函数例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是调和函数f(x,y)=excosy 是一个调和函数二、解析函数和调和函数的关系解析函数有一些重要的性质，特别是它与调和函数之间的密切关系，在理论上和实际问题中都有着广泛的应用。1. 两者的关系定理 任何在区域 D 内解析的函数 ,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数 .证解析函数和调和函数的关系根据解析函数高阶导数定理 , 证毕 解析函数和调和函数的关系Questi
2、on：解析函数的充要条件是 C-R方程，描述 u， v之间的关系。而调和函数只是 u， v各自的性质，并未描述相互间的关系。Answer:NO, N0, N0!解析函数和调和函数的关系反例：为调和函数，但 不解析解析函数和调和函数的关系定理 2-3-1 如果 f(z)=u+iv为一解析函数，且 f (z)0，那么曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必相互正交。证明 因为曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2中任一条曲线的斜率分别为 ux/uy（即 (u/x)/(u/y)）和 vx/vy(即 (v/x)/(v/y)，又因为函数 f(z)是解析函数，故有ux=vy， uy=vx（即 u/x=v/y， u/y=v/x），得：(ux/uy)(vx/vy)=(vy/uy)(uy/vy)=1即：定理 2-3-1因此，曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2相互正交。 证毕 以上无形中假定 uy， vy在交点处都不为零，如果有一个为零，则由 f (z)0 ，可知另一个必不为零。这时容易知道两族中的曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的，他们它们仍相互垂直。解析函数和调和函数的关系定理 2-3-2 任何一个解析函数的实部和虚部都满足拉普拉斯 (Laplace)方程：证 设 w=f(z)=u+iv为一解析函数，则u/x=v/y ， u/y= v/x从而
