1、3.1 复变函数积分的概念1、积分的定义2、积分存在的条件及其计算方法3、积分的性质4、典型例题5、小结与思考1、光滑曲线的概念一、积分的定义由有限条光滑曲线依次相接的所组成的连续曲线称为分段光滑曲线 .特点（ 1）光滑曲线上的各点都有切线（ 2）光滑曲线可以求长2、有向曲线积分的定义设 C为 z平面上给定的一条光滑（或分段光滑）曲线。如果选定 C的两个可能方向中的一个作为正方向，那末我们就把 C理解为带有方向的曲线，简称有向曲线 。如果指定 C的正方向，只需把它的两个端点 与 中的一个（例如 ）指定为起点，而另一个为终点，那末从起点到终点的方向就是 C的正方向，如图箭头所示。如果改变 C的正
2、向，我们把这个改变了方向的曲线记作 C-1。有向曲线的说明在今后的讨论中，常把两个端点中的一个作为起点，另一个作为终点，除特殊声明外，正方向总是指从起点到终点的方向。因此 : 曲线 C的正方向总是指从起点到终点的方向.那么终点到起点的方向就是曲线 C的负向 ,记为 C -有向曲线的说明简单闭曲线正向的定义 :如无特殊申明均是指逆时针方向方向。简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向。 对简单闭曲线而言 ,逆时针方向为正方向 ,顺时针方向为负方向以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向。 3、积分的定义
3、定义 设函数 w=f(z)定义在区域 D上， C为在区域 D内起点为 ，终点为 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C任意分成个弧段，设分点为：在每个弧段 上任意取一点 k（如图），并作出和式：这里， zk=zkzk-1。积分的定义记 的长度， 。当 n无限增加，且 趋于零时，如果不论对 C的分法及 k的取法如何，Sn有唯一极限，那么称这一极限值为函数 f(z)沿曲线 C的积分，记作：积分的定义的说明（ 2）如果 C为闭曲线，那末沿此闭曲线的积分记作 。（ 3）当 C是 x轴上的区间 x，而 f(z)=u(x)时，这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义。积分的定义的说明复变函数的积分与实变函数积分的比较10线积分 复积分一个复积分的实质是两个二元实变函数的线积分dz
