1、第六章 代数结构概念及性质6.1 代数结构的定义与例6.2 代数结构的基本性质6.3 同态与同构6.4 同余关系6.5 商代数6.6 积代数退出退出6.1 代数结构的定义与例在正式给出代数结构的定义之前，先来说明什么是在一个集合上的运算，因为运算这个概念是代数结构中不可缺少的基本概念。定义 6.1.1 设 S是个非空集合且函数 或 f:Sn S， 则称 f为一个 n元运算。其中 n是自然数，称为运算的元数或阶。当 n=1时，称 f为一元运算，当 n=2时，称 f为二元运算，等等。注意， n元运算是个闭运算，因为经运算后产生的象仍在同一个集合中。封闭性表明了 n元运算与一般函数的区别之处。此外，
2、有些运算存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用，称它为 S中的特异元或常数。运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，因为它不满足封闭性。在下面讲座的代数结构中，主要限于一元和二元运算，将用 、 或 等符号表示一元运算符；用 、 、 、 、 、 、 、 等表示二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶置或肩置，如 x、 x； 而二元运算符习惯于前置、中置或后置，如： +xy， x+y， xy+。有了集合上运算的概念后，便可定义代数结构了。
3、定义 6.1.2 设 S是个非空集合且 fi是 S上的 ni元运算，其中 i=1， 2， ， m。 由 S及 f1， f2， ， fm组成的结构，称为代数结构，记作 。此外，集合 S的基数即 |S|定义代数结构的基数。如果 S是有限集合，则说代数结构是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。有时，要考察两个或多个代数结构，这里就有个是否同类型之说，请看下面定义：定义 6.1.3 设两个代数结构 和 ， 如果 fi和gi(1im)具有相同的元数，则称这两个代数结构是同类型的。可见，判定两个代数结构是否同类型，主要是对其运算进行考察。此外，有时还需要在代数结构中集合的某个子集上讨论其性质，这就引出子
4、代数结构的概念。定义 6.1.4 设 是一代数结构且非空集 TS在运算 f1， f2， ， fm作用下是封闭的，且 T含有与 S中相同的特异元，则称为代数结构 的子代数。记为 。在结束本节时，声明记号 即为一代数结构，除特别指明外，运算符f1,f2,fm均为二元运算。根据需要对 S及f1,f2,fm可置不同的集合符和运算符。6.2 代数结构的基本性质所谓代数结构的性质即是结构中任何运算所具有的性质。1.结合律给定 ， 则运算 “”满足结合律或 “”是可结合的，即 (x)(y)(z)(x， y，z S( xy)z=x(yz)。2.交换律给定 ， 则运算 “”满足交换律或 “”是可交换的，即 ( x)( y)(x， y S xy=yx)。可见，如果一代数结构中的运算 是可结合和可交换的，那么，在计算 a1a2a0=am。 称am为 a的 m次幂， m称 a的指数。下面给出 am的归纳定义：
