1、三 (补充 )导数在经济分析中的应用导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用 . 下面介绍导数 (或微分 )在经济中的一些简单的应用 .1.边际分析与弹性分析边际和弹性是经济学中的两个重要概念 . 用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法，称之为 边际分析 与 弹性分析 .(本段内容可参见 微积分教程 西南财大出版社 )第六章微分中 值 定理及其 应 用 4函数的极 值 与最 值定义 经济学中，把函数 (x)的导函数 f (x) 称为 (x)的 边际函数 . 在点 x0 的值 f (x0) 称为 (x)在 x0 处的 边际值 (或变化率、变化速度等 ).在经
2、济学中 , 通常取 x =1, 就认为 x达到很小 (再小无意义 ).故有(1)边际函数第六章微分中 值 定理及其 应 用 4函数的极 值 与最 值例 某机械厂，生产某种机器配件的最大生产能力为每日 100件，假设日产品的总成本 C(元 )与日产量 x (件 )的函数为求 (1)日产量 75件时的总成本和平均成本 ;(2)当日产量由 75件提高到 90件时，总成本的平均增量 ;(3)当日产量为 75件时的边际成本 .解 (1)日产量 75件时的总成本为 C(75)=7956.25(元 ), 平均成本 =106.08(元 /件 );实际问题中，略去近似二字，就得 (x)在 x0 处的边际值 f
3、(x0) 的 经济意义 ：即当自变量 x 在 x0 的基础上再增加一个单位时，函数 (x)的增量 .第六章微分中 值 定理及其 应 用 4函数的极 值 与最 值(3)当日产量为 75件时的边际成本边际成本的经济意义 : C(75)=97.5说明当产量 x=75件时，再增加 1件产品的成本为 97.5元 .(2)当日产量由 75件提高到 90件时，总成本的平均增量第六章微分中 值 定理及其 应 用 4函数的极 值 与最 值例 某糕点加工厂生产 A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是 求边际利润函数和当日产量分别是 200公斤， 250公斤和 300公斤时的边际利润 . 并说明其经济意义 .解 (
4、1)总利润函数为 L(x) = R(x) C(x) =边际利润函数为(2)当日产量分别是 200公斤 、 250公斤和 300公斤时的边际利润分别是其 经济意义 : 当日产量为 200公斤时，再增加 1公斤，则总利润可增加 1元 . 当日产量为 250公斤时，再增加 1公斤，则总利润无增加 .当日产量为 300公斤时，再增加 1公斤，则 总利润减少 1元.第六章微分中 值 定理及其 应 用 4函数的极 值 与最 值(2)弹性弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时，所作出反映的强弱程度，即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量 .定义 若函数 y = (x) 在点 x0(0
5、) 的某邻域内有定义，且f(x0)0，则称 x 和 y 分别是 x 和 y 在点 x0 处的 绝对增量 ，并称分别为自变量 x与 (x)在点 x0 处的 相对增量 .第六章微分中 值 定理及其 应 用 4函数的极 值 与最 值由弹性定义可知若 y = (x) 在点 x0 处可导 . 则它在 x0 处的弹性为 (3)弹性是一个无量纲的数值，这一数值与计量单位无关 .第六章微分中 值 定理及其 应 用 4函数的极 值 与最 值例 某日用消费品需求量 Q(件 )与单价 p(元 )的函数关系为(a是正常数 )，求(1)需求弹性函数 (通常记作 ).(2)当单价分别是 4元、 4.35元、 5元时的需求弹性 .易知 : 任何需求函数对价格之弹性 ，均满足第六章微分中 值 定理及其 应 用 4函数的极 值 与最 值在商品经济中，商品经营者关心的的是提价 (p0)或降价 (p 0)将使收益减少；(2)若 (称为低弹性 )时 , 则 R 与 p 同号 . 此时，降价 (p 0)将使收益增加；从而有结论 :(3)若 (称为单位弹性 )时，则 R0 . 此时，无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响 .第六章微分中 值 定理及其 应 用 4函数的极 值 与最 值
