1、数值分析第九章 常微分方程的数值解一、 Euler方法三、 单步法的收敛性和稳定性二、 Runge-Kutta方法四、 线性多步法很多科学技术和工程问题常用常微分方程的形式建立数学模型 .但是对于绝大多数的微分方程问题，很难或者根本不可能得到它的解析解 . 本章重点考察一阶方程的初值问题的数值解法，就是寻求解 y(x)在一系列离散点处的近似值 的方法 .相邻两个节点间的距离 称为步长 .一、 Euler方法1 欧拉公式由初值条件 表示积分曲线从出发，并在 处的切线斜率为因此可以设想积分曲线在 x=x0 附近可以用切线近似的代替曲线 . 切线方程为当 x=x1时，代入有这样得到 y(x1)的近似
2、值 y1的方法 .重复上述方法，当 x=x2 时依次可以计算出 x3, x4, 处的近似值 y3, y4, 由此得到 Euler公式 ：由于用折线近似代替方程的解析解，所以Euler方法也称为 Euler折线法 .例 用 Euler法计算初值问题的解在 x=0.3时的近似值，取步长 h=0.1 .解：Euler公式的截断误差局部截断误差：一步 Euler公式产生的误差 ;总体截断误差： Euler公式的累积总误差 ;在假设 yn = y(xn)，即第 i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Rn = y(xn+1) yn+1 称为局部截断误差 .定义欧拉法的局部截断误差：所以欧拉法具有 1 阶精度 .若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 p 阶精度 .定义Lipschitiz条件 ：若存在正数 L,使得对一切x, y1, y2有则称 f(x, y)满足 Lipschitiz条件 .欧拉法的总体截断误差：那么设为局部截断误差，所以特别当 n=m-1时，有总体误差与 h是同阶的 .上式还说明，当 时，有 即也就是说， ym收敛到方程的准确解
