1、第六章 共形映射1本章先分析解析函数所构成的映射的特性 ,引出共形映射这一重要概念 .这种映射在实际问题中 ,如流体力学，弹性力学，电学等学科中都有重要应用。2在许多物理应用中 ,要求一个二元实函数 ,它在已知区域调和 ,在边界上满足已知条件 .在一些区域比较简单的情形 ,可从直接找到解析解 ,但当区域复杂时 ,可通过一个适当的共形映射把比较复杂的区域映到比较简单的区域上去讨论 .3因为一个拉普拉斯方程的解经过 共形映射仍是 相应的拉普拉斯方程的解 :定理 如果数 ,这个函数仍满足拉普拉斯方程4注 :可证明51 共形映射的概念6z平面内的任一条有向连续曲线 C可用z=z(t), atb表示 ,
2、 它的正向取为 t增大时点 z移动的方向 , z(t)为一连续函数 .如果 z (t0)0,at0b, 则表示 z (t)的向量 (把起点放取在z0. 以下不一一说明 )与 C相切于点 z0=z(t0).z(t0)z(a)z(b)z (t0)7事实上 , 如果通过 C上两点 P0与 P的割线 P0P的正向对应于 t增大的方向 , 则这个方向与表示的方向相同 .O xyz(t0)P0Pz(t0+Dt) C(z)8当点 P沿 C无限趋向于点 P0, 割线 P0P的极限位置就是 C上 P0处的切线 . 因此 , 表示的向量与 C相切于点 z0=z(t0), 且方向与 C的正向一致. 如果我们规定这个向量的方向作为 C上点 z0处的切线的正向 , 则我们有Arg z (t0)就是 z0处 C的切线正向与 x轴正向间的夹角 ;相交于一点的两条曲线 C1与 C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角9xyoz010
