1、矩阵论矩阵论课程：课程： 矩阵论（矩阵论（ Matrix Theory）学时：学时： 48学时学时 （ 48 Lectures）教材教材 ：矩阵论（：矩阵论（ 第第 2版，版， 杨明、刘先忠编著杨明、刘先忠编著 ），华中科技大学出版社，华中科技大学出版社， 2005任课教师任课教师 ： 杨杨 明明（ Dr. Yang Ming）http:/ 研究内容：研究内容：w 矩阵与线性空间和线性变换矩阵与线性空间和线性变换 以矩阵为工具研究问题以矩阵为工具研究问题 在其中发展矩阵理论在其中发展矩阵理论w 矩阵在各种意义下的化简与分解矩阵在各种意义下的化简与分解w 矩阵的分析理论矩阵的分析理论w 各类矩
2、阵的性质研究各类矩阵的性质研究 矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。二、教学安排二、教学安排 学时配置学时配置讲授第讲授第 1章至第章至第 6章章 (48学时学时 )第第 1章：章： 10学时学时 ; 第第 2章：章： 8学时学时第第 3章：章： 8学时；学时； 第第 4章：章： 6学时学时；第第 5章：章： 8学时；学时； 第第 6章：章： 6学时学时考核方式：课程结束考试（第考核方式：课程结束考试（第 13周周）卷面成绩为最终成绩卷面成绩为最终成绩三、教学指导意见三、教学
3、指导意见 背景要求：线性代数背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：矩阵与计算工具： MATLAB， MAPLE, 矩阵与现代应用：应用选讲矩阵与现代应用：应用选讲 教学参考书教学参考书 ：w 余鄂西，矩阵论，高等教育出版社余鄂西，矩阵论，高等教育出版社 ， 1995。w 方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，方保熔等，矩阵论，清华大学出版社， 2004。w Fuzhen Zhang， Matrix Theory， Springer， 1999。w Denis Serre， Matrices Theory and Applications，Springer， 2002。w 矩阵论历年试题及其解答矩阵论
4、历年试题及其解答 不交作业，但应该重视练习环节。不交作业，但应该重视练习环节。第第 1章：线性空间与线性变换章：线性空间与线性变换 内容内容 ：w 线性空间的一般概念线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系w 线性变换线性变换重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法 特点特点 ：w 研究代数结构研究代数结构 具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。w 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。w 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。w 学习特点：具有
5、抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。1.1 线性空间线性空间一、线性空间的概念一、线性空间的概念 几何空间和几何空间和 n 维向量空间的回顾维向量空间的回顾 推广思想：推广思想：w抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。合上定义具有线性运算的代数结构。 定义定义 1.1（ P .1）w要点：要点： 集合集合 V 与数域与数域 F 向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画运算的性质刻画常见的线性空间常见的线性空间 F n=X=（ x1， x2， ， xn） T： x F运算运算 ：向量加法和
6、数乘向量：向量加法和数乘向量 F mn = A=aijmn： a ijF；运算运算 ：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵wR mn ； C mn 。 Pn x=p(x)= ： aiR运算运算 ：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘Ca， b=f（ x）：）： f（ x） 在在 a， b上连续上连续 运算运算 ：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘eg5： V=R+， F=R， a b=ab， a=a F=R或或 C线性空间的一般性的观点：线性空间的一般性的观点： 线性空间的一般形式：线性空间的一般形式：w V（ F），）， 元素被统称为向量：元素被统称为向量： ， ， ， 线性空间的简
7、单性质（共性）：线性空间的简单性质（共性）：定理定理 1 . 1： V（ F） 具有性质：具有性质：（ 1） V（ F） 中的零元素是惟一的。中的零元素是惟一的。（ 2） V（ F） 中任何元素的负元素是惟一的中任何元素的负元素是惟一的。（ 3）数零和零元素的性质：）数零和零元素的性质：0=0， k0=0， k =0 =0 或或 k=0（ 4） = （ 1） 数数 0向量向量 0二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数 向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关：w定义形式和向量空间定义形式和向量空间 Rn中的定义一样。中的定义一样。w有关性质与定理和有关性质与定理和 Rn中的结果
8、一样。中的结果一样。例题例题 1 证明证明 C0， 1空间中的向量组空间中的向量组ex， e2x， e3x ， enx， x0， 1 线性无关。线性无关。二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数 基与维数的概念：基与维数的概念： P . 2， 定义定义 1 . 2 常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：wFn， 自然基自然基 e1， e2， ,e n， dim Fn =nwRmn ， 自然基自然基 Eij， dim Rmn =mn。wPn x ， 自然基自然基 1， x， x2， x3,x n-1， dimPn x =nw Ca， b， 1， x， x2， x3x n-1 Ca,b，dim Ca， b= 约定：约定：w V n （ F） 表示数域表示数域 F上的上的 n 维线性空间。维线性空间。w 只研究有限维线性空间。只研究有限维线性空间。
